東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
3回の出目の和が5になる型は $(1,1,3)$ と $(1,2,2)$ である。したがって$$Q(5)=3p_1^2{p}_3+3p_1{p}_2^2\mathrm{.}$$対称条件と確率の総和から$$2(p_1+p_2+p_3)=1$$であるから、$p_3={\displaystyle \frac{1}{2}}-p_1-p_2$ である。よって問題の指定どおり $p_1,p_2$ だけで表すと$$Q(5)=3p_1^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-p_1-p_2)+3p_1{p}_2^2$$である。

(2)
$p_3={\displaystyle \frac{1}{6}}$ であり、$$p_1+p_2={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。和が7になる型は$$(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)$$である。したがって$$Q(7)=3p_1^2{p}_2+6p_1{p}_2{p}_3+3p_1{p}_3^2+3p_2^2{p}_3\mathrm{.}$$$p_2={\displaystyle \frac{1}{3}}-p_1$、$p_3={\displaystyle \frac{1}{6}}$ を代入すると$$Q(7)=-3p_1^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_1^2+{\displaystyle \frac{1}{12}}{p}_1+{\displaystyle \frac{1}{18}}\mathrm{.}$$ここで $0\leqq p_1\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$ であり、$$Q^{\mathrm{\prime }}(7)=-9p_1^2+p_1+{\displaystyle \frac{1}{12}}=-{\displaystyle \frac{1}{12}}(6p_1-1)(18p_1+1)\mathrm{.}$$よって $Q(7)$ は $0\leqq p_1<{\displaystyle \frac{1}{6}}$ で増加し、$${\displaystyle \frac{1}{6}}<p_1\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ で減少する。したがって最大となるのは$$p_1=p_2={\displaystyle \frac{1}{6}}$$のときで、その最大値は$$Q(7)={\displaystyle \frac{5}{72}}$$である。

条件・検算

和5・和7の順序付き出目を全列挙し、$Q(5)$ は問題指定どおり $p_1,p_2$ だけで表した。