東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
条件は $$s^2+t^2=1,(u-1{)}^2+v^2=1,(u-s{)}^2+(v-t{)}^2=1$$ である。後の2式を引くと $$(u-1{)}^2+v^2-(u-s{)}^2-(v-t{)}^2=0$$ であり、$s^2+t^2=1$ を用いて整理すると $u(1-s)=vt$ を得る。

まず $t\mathrm{\ne }0$ とする。このとき $$v={\displaystyle \frac{u(1-s)}{t}}$$ であるから、$(u-1{)}^2+v^2=1$ に代入して $$(u-1{)}^2+{\displaystyle \frac{u^2(1-s{)}^2}{t^2}}=1$$ を得る。両辺に $t^2$ を掛けると $$t^2(u^2-2u+1)+u^2(1-s{)}^2=t^2$$ である。$t^2=1-s^2$ より $$u^2\{t^2+(1-s{)}^2\}-2u{t}^2=0$$ $$2(1-s)u^2-2(1-s)(1+s)u=0$$ となる。いま $s\mathrm{\ne }1$ だから $$u=0\text{または}u=1+s$$ である。対応する $v$ はそれぞれ $v=0,v=t$ である。

次に $t=0$ とする。$s^2+t^2=1$ かつ $s\mathrm{\ne }1$ より $s=-1$ であり、式 $u(1-s)=vt$ から $u=0$ となる。さらに $(u-1{)}^2+v^2=1$ より $v=0$ である。これは上の2つの候補が一致する場合である。

したがって、$s\mathrm{\ne }1$ のとき $$(u,v)=(0,0)\text{または}(u,v)=(1+s,t)$$ である。

(2)
線分 $PQ$ の中点を $(X,Y)$ とする。

(1) の第1の枝 $Q=(0,0)$ では $$(X,Y)=({\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{t}{2}})$$ である。$s^2+t^2=1$ より $X^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$ を得る。

第2の枝 $Q=(1+s,t)$ では $$(X,Y)=(s+{\displaystyle \frac{1}{2}},t)$$ であるから $${(X-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+Y^2=1$$ を得る。

ただし、(1)では $s\mathrm{\ne }1$ としていたので、$P=(1,0)$ の場合を別に調べる必要がある。このとき $P$ は点 $(1,0)$ と一致するから、条件 $Q$ が点 $(1,0)$ を中心とする半径1の円周上にあることと $PQ=1$ は同じ条件である。したがって $Q=(u,v)$ は $(u-1{)}^2+v^2=1$ を満たす円周上をすべて動ける。このとき中点は $$(X,Y)=({\displaystyle \frac{1+u}{2}},{\displaystyle \frac{v}{2}})$$ であるから $${(X-1)}^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ を得る。

よって求める軌跡は、次の3つの円周の和集合である。$$X^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}},{(X-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+Y^2=1,(X-1{)}^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$図示すると、中心が $(0,0)$、$(1\mathrm{/}2,0)$、$(1,0)$ にあり、半径がそれぞれ $1\mathrm{/}2,1,1\mathrm{/}2$ の3円周である。

中点の3円周

二つの単位円の交点として $Q$ を幾何的に求める。既知の交点 $O$ と、中心線に関するもう一つの交点 $(1+s,t)$ を確認する。中点写像は相似変換なので二つの円周になり、除外した $P=(1,0)$ から第3の円周を補う。

(1)
$Q$ は、中心 $(1,0)$、半径1の円と、中心 $P(s,t)$、半径1の円との交点である。原点 $O$ は両方の円上にある。

もう一つの候補$$Q^{\mathrm{\prime }}=(1+s,t)$$について$$\mathrm{\mid }{Q}^{\mathrm{\prime }}-(1,0){\mathrm{\mid }}^2=s^2+t^2=1,\mathrm{\mid }{Q}^{\mathrm{\prime }}-P{\mathrm{\mid }}^2=1$$である。$s\mathrm{\ne }1$ なら二円は一致しないので、交点はこの二つだけである。したがって$$(u,v)=(0,0)\text{または}(u,v)=(1+s,t)\mathrm{.}$$(2)
中点を $(X,Y)$ とする。$Q=O$ の枝では$$(X,Y)=({\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{t}{2}}),X^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$$Q=(1+s,t)$ の枝では$$(X,Y)=(s+{\displaystyle \frac{1}{2}},t),{(X-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+Y^2=1.$$ただし $P=(1,0)$ の場合、二つの円は一致し、$Q$ は中心 $(1,0)$、半径1の円周全体を動く。その中点は$$(X-1{)}^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$を動く。

以上より軌跡は$$X^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}},{(X-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+Y^2=1,(X-1{)}^2+Y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$の3円周の和集合である。