東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

放物線上の点Aを $$A=({\displaystyle \frac{s^2}{4p}},s)$$ とおく。点 $(t,0)$ との距離の2乗は ${({\displaystyle \frac{s^2}{4p}}-t)}^2+s^2$ である。ここで $u=s^2(u\geqq 0)$ とおくと、最小にすべき式は ${({\displaystyle \frac{u}{4p}}-t)}^2+u$ である。

これを $u$ の2次式として見ると ${\displaystyle \frac{u^2}{16p^2}}+(1-{\displaystyle \frac{t}{2p}})u+t^2$ である。頂点は $u=4p(t-2p)$ である。 $t\leqq 2p$ のとき、この頂点は $u\leqq 0$ なので、$u\geqq 0$ での最小は $u=0$ で生じる。したがって $g(t)=\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$ である。 $t\geqq 2p$ のときは、頂点 $u=4p(t-2p)$ が $u\geqq 0$ に入る。これを代入すると距離の2乗の最小値は $4p(t-p)$ であるから $$g(t)=2\sqrt{p(t-p)}$$ である。よって$$g(t)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }& (t\leqq 2p),\\ 2\sqrt{p(t-p)}& (t\geqq 2p)\end{array}$$である。

次に $x\geqq 0$ とする。$0\leqq x\leqq 2p$ では $g(t)=t$ なので $${\int }_0^{x}g(t)dt={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ である。 $x\geqq 2p$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{x}g(t)dt}& {\displaystyle ={\int }_0^{2p}tdt+{\int }_{2p}^{x}2\sqrt{p(t-p)}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2p^2+2\sqrt{p}{\int }_{2p}^x\sqrt{t-p}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2p^2+{\displaystyle \frac{4\sqrt{p}}{3}}\{(x-p{)}^{3\mathrm{/}2}-p^{3\mathrm{/}2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\sqrt{p}}{3}}(x-p{)}^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{2p^2}{3}}}\end{array}$$である。したがって$${\int }_0^{x}g(t)dt=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}& (0\leqq x\leqq 2p),\\ {\displaystyle \frac{4\sqrt{p}}{3}}(x-p{)}^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{2p^2}{3}}& (x\geqq 2p)\end{array}$$である。

放物線までの最短距離

放物線上の点を $A=(p{u}^2,2pu)$ と標準媒介表示し、距離平方を $v=u^2\ge 0$ の二次式として平方完成する。積分は境界 $t=2p$ で分ける。

$A=(p{u}^2,2pu)$ と置く。点 $(t,0)$ までの距離平方は$$D^2=(p{u}^2-t{)}^2+4p^2{u}^2\mathrm{.}$$$v=u^2\geqq 0$ とすれば$$D^2=p^2{v}^2+2p(2p-t)v+t^2\mathrm{.}$$頂点は $v=(t-2p)\mathrm{/}p$ である。したがって$$g(t)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }& t\leqq 2p,\\ 2\sqrt{p(t-p)}& t\geqq 2p\mathrm{.}\end{array}$$$x\geqq 0$ では、$x\leqq 2p$ のとき$${\int }_0^{x}g(t)dt={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mathrm{.}$$$x\geqq 2p$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{x}g(t)dt}& {\displaystyle =2p^2+2\sqrt{p}{\int }_{2p}^x\sqrt{t-p}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\sqrt{p}}{3}}(x-p{)}^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{2p^2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$