東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$C_1$ と $C$ の共有点を $P_1=(x_1,y_1)$ とし、$C_2$ と $C$ の共有点を $P_2=(x_2,y_2)$ とする。それぞれ共有点が1点だけなので、放物線はその点で接している。

まず微分係数を比較する。$C_1:y=x^2$ の接点 $x=x_1$ における傾きは $2x_1$ である。一方、$C:y=p(x-q{)}^2+r$ の同じ点での傾きは $2p(x_1-q)$ である。したがって $x_1=p(x_1-q)$ である。

同様に、$C_2:y=(x-a{)}^2+b$ の接点 $x=x_2$ における傾きは $2(x_2-a)$ なので $x_2-a=p(x_2-q)$ である。2式を引くと $x_1-x_2+a=p(x_1-x_2)$ を得る。もし $x_1=x_2$ なら $a=0$ となり、条件 $a\mathrm{\ne }0$ に反する。よって $x_1\mathrm{\ne }{x}_2$ である。

次に接点のy座標の一致を用いる。上で得た接線条件から $$x_1-q={\displaystyle \frac{x_1}{p}},x_2-q={\displaystyle \frac{x_2-a}{p}}$$ である。したがって $$r=x_1^2(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})$$ であり、同様に $$r=(x_2-a{)}^2(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})+b$$ である。よって $$(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})\{x_1^2-(x_2-a{)}^2\}=b$$ である。

また $$p={\displaystyle \frac{x_1-x_2+a}{x_1-x_2}}$$ なので $$1-{\displaystyle \frac{1}{p}}={\displaystyle \frac{a}{x_1-x_2+a}}$$ である。これを代入すると $${\displaystyle \frac{a}{x_1-x_2+a}}\{x_1^2-(x_2-a{)}^2\}=b$$ である。ここで $$x_1^2-(x_2-a{)}^2=(x_1-x_2+a)(x_1+x_2-a)$$ だから $a(x_1+x_2-a)=b$ であり、$a\mathrm{\ne }0$ より $$x_1+x_2=a+{\displaystyle \frac{b}{a}}$$ である。

線分 $P_1{P}_2$ の傾きは $${\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{(x_2-a{)}^2+b-x_1^2}{x_2-x_1}}$$ である。分子を整理すると $$(x_2-a{)}^2+b-x_1^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2-a)$$ であるから、傾きは $$x_1+x_2-a={\displaystyle \frac{b}{a}}$$ である。

3つの放物線と2接点

各共有点が接点であることを、差の二次式の判別式0として表す。接点座標は二次式の重解なので、係数から $x_1,x_2$ の関係を取り、最後に弦の傾きを因数分解する。

$C-C_1$ は$$(p-1)x^2-2pqx+(p{q}^2+r)$$であり、唯一の共有点 $x_1$ はこの二次式の重解である。よって$$(p-1)x_1=pq\mathrm{.}$$同様に $C-C_2$ の重解 $x_2$ について$$(p-1)x_2=pq-a\mathrm{.}$$2式を引くと$$(p-1)(x_1-x_2)=a\mathrm{.}$$$a\mathrm{\ne }0$ なので $x_1\mathrm{\ne }{x}_2$ である。

接点条件と定数項の比較を整理すると$$a(x_1+x_2-a)=b,x_1+x_2-a={\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{.}$$弦の傾きは$${\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{(x_2-a{)}^2+b-x_1^2}{x_2-x_1}}=x_1+x_2-a={\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{.}$$