東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $u=\sin \theta$ とおくと、$du=\cos \theta d\theta$ である。また$$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{のとき}u=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{のとき}u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。したがって$$b_n={\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{2}}^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}{e}^{nu}du={\left[{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{nu}\right]}_{-1\mathrm{/}\sqrt{2}}^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}$$より $$b_n={\displaystyle \frac{e^{n\mathrm{/}\sqrt{2}}-e^{-n\mathrm{/}\sqrt{2}}}{n}}$$ である。

(2) $$-\pi \mathrm{/}4\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}4$$ では $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq \cos \theta \leqq 1$$ である。また $e^{n\sin \theta }>0$ だから $$e^{n\sin \theta }\cos \theta \leqq e^{n\sin \theta }$$ であり、積分して $b_n\leqq a_n$ を得る。

一方、$\cos \theta \geqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ より $$e^{n\sin \theta }\leqq \sqrt{2}{e}^{n\sin \theta }\cos \theta$$ である。これを積分して $a_n\leqq \sqrt{2}{b}_n$ を得る。したがって $$b_n\leqq a_n\leqq \sqrt{2}{b}_n$$ である。

(3)
(1)の結果を $$b_n={\displaystyle \frac{e^{n\mathrm{/}\sqrt{2}}}{n}}(1-e^{-\sqrt{2}n})$$ と書く。よって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\log b_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-{\displaystyle \frac{\log n}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-e^{-\sqrt{2}n})$$である。ここで $(\log n)\mathrm{/}n\to 0$ であり、$\log (1-e^{-\sqrt{2}n})\to 0$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log b_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。

また(2)より$${\displaystyle \frac{1}{n}}\log b_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\log a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\log b_n+{\displaystyle \frac{1}{n}}\log \sqrt{2}$$である。右端と左端はいずれも $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ に近づくので、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。

【はさみうち】

$b_n$ は $u=\sin \theta$ で直接積分する。(2)は区間上の $\cos \theta$ の上下評価を積分へ移す。(3)では双曲線正弦型の表示から最大指数 $e^{n\mathrm{/}\sqrt{2}}$ だけを取り出し、対数スケールでは定数倍が消えることを示す。

(1)
$u=\sin \theta$ とおけば$$b_n={\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{2}}^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}{e}^{nu}du={\displaystyle \frac{e^{n\mathrm{/}\sqrt{2}}-e^{-n\mathrm{/}\sqrt{2}}}{n}}\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq \cos \theta \leqq 1(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}$$正の $e^{n\sin \theta }$ を掛けて積分すると$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{a}_n\leqq b_n\leqq a_n\mathrm{.}$$したがって$$b_n\leqq a_n\leqq \sqrt{2}{b}_n\mathrm{.}$$(3)$$b_n={\displaystyle \frac{e^{n\mathrm{/}\sqrt{2}}}{n}}(1-e^{-\sqrt{2}n})$$だから$${\displaystyle \frac{\log b_n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-{\displaystyle \frac{\log n}{n}}+{\displaystyle \frac{\log (1-e^{-\sqrt{2}n})}{n}}⟶{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$(2)の正数の不等式に対数を取り、$${\displaystyle \frac{\log b_n}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{\log a_n}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{\log b_n}{n}}+{\displaystyle \frac{\log \sqrt{2}}{n}}\mathrm{.}$$両端の極限は $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$