東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $C_1$ では $$x={\displaystyle \frac{15}{2}}{t}^4,y=-3t^5+5t^3$$ であり、$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=30t^3$$ である。$$0\leqq t\leqq \sqrt{5\mathrm{/}3}$$ では $y=t^3(5-3t^2)\geqq 0$ であるから、$C_1$ と $x$ 軸で囲まれる面積は$$\int ydx={\int }_0^{\sqrt{5\mathrm{/}3}}(-3t^5+5t^3)30t^{3}dt$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{5\mathrm{/}3}}(-90t^8+150t^6)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-10t^9+{\displaystyle \frac{150}{7}}{t}^7]}_0^{\sqrt{5\mathrm{/}3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{12500\sqrt{15}}{1701}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{12500\sqrt{15}}{1701}}$ である。

(2)
まず $C_1$ の道のりを求める。 $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=30t^3,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=-15t^4+15t^2=15t^2(1-t^2)$$ である。したがって速さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{{\left(30t^3\right)}^2+{(15t^2(1-t^2))}^2}}& {\displaystyle =15t^2\sqrt{4t^2+(1-t^2{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =15t^2(1+t^2)}\end{array}$$である。よって $C_1$ の長さは$${\int }_0^{\sqrt{5\mathrm{/}3}}15t^2(1+t^2)dt={[5t^3+3t^5]}_0^{\sqrt{5\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{50\sqrt{15}}{9}}$$である。

次に $C_2$ は $$x=A{\cos }^3\varphi ,y=A{\sin }^3\varphi ,A={\displaystyle \frac{125}{6}}$$ の形で、$\varphi$ が $0$ から $-\pi \mathrm{/}2$ まで動く4分の1のアステロイドである。この弧長は$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}3A\sin \varphi \cos \varphi d\varphi ={\displaystyle \frac{3A}{2}}={\displaystyle \frac{125}{4}}$$である。

最後に $C_3$ は $x=0$ の鉛直線分で、$y=-125\mathrm{/}6$ から $0$ まで戻るので長さは ${\displaystyle \frac{125}{6}}$ である。したがって全体の道のりは$${\displaystyle \frac{50\sqrt{15}}{9}}+{\displaystyle \frac{125}{4}}+{\displaystyle \frac{125}{6}}={\displaystyle \frac{50\sqrt{15}}{9}}+{\displaystyle \frac{625}{12}}$$である。

条件・検算

各曲線の始点・終点がつながること、速さの平方根が $15t^2(1+t^2)$ に簡約できることを確認した。