東北大 2011年度理系数学第1問（図形と方程式）｜問題・解答・解説

方針

固定した点 $(p, q)$ について、条件 $(p, q) \in D (a)$ を $q ≦ - a^{2} + 2 a (p + 1) + 2$ と書き、右辺を $a$ の2次関数として見る。(1) はすべての $a \in [- 1, 2]$ で成り立つ条件なので、この2次関数の区間最小値を使う。係数が負で下に開く放物線だから、区間での最小値は端点で生じる。(2) はいずれかの $a$ で成り立てばよいので、区間最大値を使う。頂点 $a = p + 1$ が区間内にあるかで3つに場合分けし、境界線・境界放物線を含む下側の領域として図示する。

解答

点 $(p, q)$ が $D (a)$ に属する条件は $q ≦ 2 a p - a^{2} + 2 a + 2$ すなわち $q ≦ - a^{2} + 2 a (p + 1) + 2$ である。以下、右辺を $g (a) = - a^{2} + 2 a (p + 1) + 2$ とおく。

(1) $(p, q)$ が $- 1 ≦ a ≦ 2$ を満たすすべての $a$ に対して $D (a)$ の点となる条件は $q ≦ g (a) (- 1 ≦ a ≦ 2)$ である。したがって $q ≦ \min_{- 1 ≦ a ≦ 2} g (a)$ を求めればよい。 $g (a)$ は $a^{2}$ の係数が負、すなわち下に開く2次関数であるから、閉区間での最小値は端点で生じる。端点の値は $g (- 1) = - 1 - 2 (p + 1) + 2 = - 2 p - 1$ および $g (2) = - 4 + 4 (p + 1) + 2 = 4 p + 2$ である。よって $q ≦ \min (- 2 p - 1, 4 p + 2)$ である。

2つの値を比較すると $4 p + 2 ≦ - 2 p - 1 ⟺ p ≦ - \frac{1}{2}$ である。したがって求める範囲は ${\begin{cases} q ≦ 4 p + 2 & (p ≦ - \frac{1}{2}), \\ q ≦ - 2 p - 1 & (p ≧ - \frac{1}{2}) \end{cases}$ である。図示すると、2直線 $q = 4 p + 2$ 、 $q = - 2 p - 1$ のうち低い方を境界とし、その下側すべてである。境界は含む。

(2) $(p, q)$ が $- 1 ≦ a ≦ 2$ を満たすいずれかの $a$ に対して $D (a)$ の点となる条件は $q ≦ g (a)$ を満たす $a \in [- 1, 2]$ が存在することである。したがって $q ≦ \max_{- 1 ≦ a ≦ 2} g (a)$ を求めればよい。

平方完成すると $g (a) = - (a - (p + 1))^{2} + (p + 1)^{2} + 2$ である。頂点は $a = p + 1$ であるから、この頂点が区間 $[- 1, 2]$ に入るかどうかで分ける。 $p + 1 < - 1$ 、すなわち $p < - 2$ のとき、 $[- 1, 2]$ では $a = - 1$ で最大となるので $\max g (a) = g (- 1) = - 2 p - 1$ である。 $- 1 ≦ p + 1 ≦ 2$ 、すなわち $- 2 ≦ p ≦ 1$ のとき、頂点で最大となるので $\max g (a) = (p + 1)^{2} + 2$ である。 $p + 1 > 2$ 、すなわち $p > 1$ のとき、 $[- 1, 2]$ では $a = 2$ で最大となるので $\max g (a) = g (2) = 4 p + 2$ である。

したがって求める範囲は ${\begin{cases} q ≦ - 2 p - 1 & (p ≦ - 2), \\ q ≦ (p + 1)^{2} + 2 & (- 2 ≦ p ≦ 1), \\ q ≦ 4 p + 2 & (p ≧ 1) \end{cases}$ である。図示すると、左側の直線 $q = - 2 p - 1$ 、中央の放物線 $q = (p + 1)^{2} + 2$ 、右側の直線 $q = 4 p + 2$ をつないだ境界の下側すべてであり、境界も含む。

2つの領域を図示すると次のようになる。青色部分は境界を含む。

総評

パラメータ付き半平面の共通部分と和集合を、点 $(p, q)$ を固定して判定する問題である。目安時間は22分。(1) は「すべての $a$ 」なので右辺の最小値、(2) は「いずれかの $a$ 」なので右辺の最大値を使う、という対応が最大のポイントになる。 $g (a)$ は上に開くのではなく下に開く2次関数なので、最小値と最大値の出方を取り違えないこと。図示問題では、境界を実線で描くこと、(2) の中央部分が $- 2 ≦ p ≦ 1$ の放物線であること、どちらも境界の下側であることを明示すると答案が安定する。

出典: 東北大学 2011年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

総評

東北大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問