東北大 2009年度文系（後期）数学第4問（図形と方程式）｜問題・解答・解説

方針

3つの不等式を円の内部として整理する。 $A$ ， $B$ ， $C$ の中心と半径を明確にし，まず $B$ と $C$ の共通部分が1点になる条件を，2中心間距離が半径の和に等しい外接条件で求める。(4)では，三者の共通部分があるためには少なくとも $B$ と $C$ が交わる必要がある。一方で $B$ と $C$ が交わる範囲では， $C$ の右端の点が $B$ にも $A$ にも入ることを示して十分性を出す。

解答

模式図． $B_{0}, C_{0}$ は同じ高さにあり， $t$ とともに左右へ離れる．

まず3つの領域を円として書き直す。

$A$ は $x^{2} + (y + 1)^{2} ≦ 2$ であるから，中心 $(0, - 1)$ ，半径 $\sqrt{2}$ の円の内部である。

$B$ は平方完成して $(x - (t + 1))^{2} + (y - t^{2})^{2} ≦ t^{2} + 2$ である。したがって中心は $B_{0} = (t + 1, t^{2})$ で，半径は $\sqrt{t^{2} + 2}$ である。

$C$ は $(x + (t + 1))^{2} + (y - t^{2})^{2} ≦ 2$ である。したがって中心は $C_{0} = (- (t + 1), t^{2})$ で，半径は $\sqrt{2}$ である。

(1)

$t = 0$ のとき，3つの円の中心と半径は $A : (0, - 1), \sqrt{2}, B : (1, 0), \sqrt{2}, C : (- 1, 0), \sqrt{2}$ である。点 $(0, 0)$ からこれらの中心までの距離はそれぞれ $1, 1, 1$ であり，いずれも $\sqrt{2}$ 以下である。したがって $(0, 0)$ は $A, B, C$ すべてに含まれるので $A \cap B \cap C \neq \emptyset$ である。

(2)

$B$ と $C$ の中心は同じ高さ $t^{2}$ にあり，中心間距離は $2 (t + 1)$ である。 $B$ の半径は $\sqrt{t^{2} + 2}$ ， $C$ の半径は $\sqrt{2}$ である。 $t ≧ 0$ では中心間距離が半径の差より大きいので，1点で交わるのは外接するときである。したがって $2 (t + 1) = \sqrt{t^{2} + 2} + \sqrt{2}$ を解けばよい。

この式を整理する。まず $2 (t + 1) - \sqrt{2} = \sqrt{t^{2} + 2}$ である。両辺を2乗して $3 t^{2} + (8 - 4 \sqrt{2}) t + 4 - 4 \sqrt{2} = 0$ を得る。この2次方程式の $t ≧ 0$ の解は $t_{0} = \frac{2}{3} (\sqrt{3 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} - 2)$ である。

(3)

$t = t_{0}$ のとき， $B$ と $C$ は外接するので，共通部分は接点1点だけである。この接点は， $C$ の中心から右に半径 $\sqrt{2}$ だけ進んだ点だから $T = (\sqrt{2} - (t_{0} + 1), t_{0}^{2})$ である。

(2) の方程式で $t = 1 / 2$ を代入すると，左辺は $3$ ，右辺は $\sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2} < 3$ である。また $t = 0$ では左辺が右辺より小さいので，解 $t_{0}$ は $0 < t_{0} < \frac{1}{2}$ を満たす。

したがって $∣ \sqrt{2} - (t_{0} + 1) ∣ ≦ \sqrt{2} - 1, 1 < t_{0}^{2} + 1 < \frac{5}{4}$ である。よって $\begin{aligned} (\sqrt{2} - (t_{0} + 1))^{2} + (t_{0}^{2} + 1)^{2} & ≦ (\sqrt{2} - 1)^{2} + {(\frac{5}{4})}^{2} \\ = 3 - 2 \sqrt{2} + \frac{25}{16} < 2 \end{aligned}$ である。これは $T_{x}^{2} + (T_{y} + 1)^{2} < 2$ を意味するので，接点 $T$ は $A$ に含まれる。したがって $t = t_{0}$ のとき， $B \cap C$ は $A$ に含まれる。

(4)

まず $A \cap B \cap C$ が空でないなら，少なくとも $B \cap C$ は空でない。 $B$ と $C$ が交わる条件は，中心間距離が半径の和以下であること，すなわち $2 (t + 1) ≦ \sqrt{t^{2} + 2} + \sqrt{2}$ である。左辺と右辺の大小は(2)で求めた $t_{0}$ を境に変わるので，必要条件として $0 ≦ t ≦ t_{0}$ を得る。

逆に $0 ≦ t ≦ t_{0}$ とする。点 $T_{t} = (\sqrt{2} - (t + 1), t^{2})$ を考える。この点は $C$ の中心から右に $\sqrt{2}$ だけ進んだ点なので， $C$ に含まれる。また $距離 (T_{t}, B_{0}) = 2 (t + 1) - \sqrt{2}$ であり， $t ≦ t_{0}$ では $2 (t + 1) - \sqrt{2} ≦ \sqrt{t^{2} + 2}$ だから $T_{t}$ は $B$ にも含まれる。

さらに $t ≦ t_{0} < 1 / 2$ なので，(3)と同じ評価により $(\sqrt{2} - (t + 1))^{2} + (t^{2} + 1)^{2} < 2$ である。したがって $T_{t}$ は $A$ にも含まれる。よって $A \cap B \cap C$ は空でない。

以上より，求める範囲は $0 ≦ t ≦ \frac{2}{3} (\sqrt{3 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} - 2)$ である。

総評

難度8、計算量8。3つの領域を円として整理し，中心間距離と半径で交わりを判定する問題である。(2)の外接条件だけでなく，(4)で三者の共通部分の十分性を示すための具体的な点 $T_{t}$ を選ぶのが山場である。計算は重いが，中心・半径・接点・範囲の順に書けば見通しは保てる。目安時間は30分以上。

外接条件の解がただ1つであること，必要条件 $B \cap C \neq \emptyset$ だけで止めず，具体的な点 $T_{t}$ が3領域すべてに入ることを示すのが採点の中心である．

出典: 東北大学 2009年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

東北大学 2009年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問