東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
円の中心 $P(X,Y)$ から接点 $(a,-a)$ に引いた半径は、接線 $y=-x$ に垂直である。直線 $y=-x$ の傾きは $-1$ なので、半径の方向の傾きは $1$ である。したがって、中心 $P$ は接点 $(a,-a)$ を通る傾き1の直線上にある。

そこで、ある実数 $s$ を用いて $P=(a+s,-a+s)$ とおく。接点 $(a,-a)$ までの距離の2乗は $s^2+s^2=2s^2$ である。一方、円は点 $(0,1)$ を通るので、$(0,1)$ までの距離の2乗も同じであり、$(a+s{)}^2+(-a+s-1{)}^2=2s^2$ が成り立つ。

左辺を展開して整理すると $$(a+s{)}^2+(s-a-1{)}^2=2s^2-2s+2a^2+2a+1$$ である。したがって $2s^2-2s+2a^2+2a+1=2s^2$ より $s=a^2+a+\frac{1}{2}$ を得る。よって $$X=a+s=a^2+2a+\frac{1}{2},Y=-a+s=a^2+\frac{1}{2}$$ である。すなわち $$X=a^2+2a+\frac{1}{2},Y=a^2+\frac{1}{2}$$ である。

(2)
(1) より $$X-Y=2a,Y=a^2+\frac{1}{2}$$ である。$a=(X-Y)\mathrm{/}2$ を消去すると、点 $P$ の軌跡は $$Y=\frac{(X-Y{)}^2}{4}+\frac{1}{2}$$ である。これは $Y\geqq 1\mathrm{/}2$ を満たす曲線である。

直線 $Y=1$ との交点を求めると $$1=\frac{(X-1{)}^2}{4}+\frac{1}{2}$$ だから $(X-1{)}^2=2$ であり、交点は $$X=1\pm \sqrt{2},Y=1$$ である。

面積は水平な切片で求める。$1\mathrm{/}2\leqq Y\leqq 1$ に対して、軌跡の式から $$(X-Y{)}^2=4(Y-\frac{1}{2})$$ である。したがって、その高さ $Y$ における左右の $X$ 座標は $$X=Y\pm 2\sqrt{Y-\frac{1}{2}}$$ であり、横幅は $4\sqrt{Y-\frac{1}{2}}$ である。よって求める面積は$$S={\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}4\sqrt{Y-\frac{1}{2}}dY$$である。$u=Y-1\mathrm{/}2$ とおくと$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}4\sqrt{Y-\frac{1}{2}}dY=4{\int }_0^{1\mathrm{/}2}{u}^{1\mathrm{/}2}du=4{\left[\frac{2}{3}{u}^{3\mathrm{/}2}\right]}_0^{1\mathrm{/}2}$$であるから$$\frac{8}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$である。

軌跡と直線 $Y=1$ に囲まれる部分を図示する。破線は、積分で用いた水平切片である。