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東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，
辺OAを3:1に内分する点をD，
辺OBを2:1に内分する点をE，
辺ACを2:1に内分する点をFとする。
3点D，E，Fが定める平面をαとし，
平面αと辺BCとの交点をGとする。

(1) OG→をOB→とOC→を用いて表せ。

(2) △EFGの面積を求めよ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安26分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、内積の利用、面積計算

方針

正四面体の3辺 OA→,OB→,OC→ を基底として、点 D,E,F,G の位置ベクトルを表す。G は辺 BC 上にあるので (1−u)OB→+uOC→ と置き、D,E,F,G が同一平面上にある条件を係数比較で求める。面積は EF→ と EG→ の内積から、∣EF∣2∣EG∣2−(EF⋅EG)2 を使って計算する。

解答

(1) OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。正四面体の1辺の長さは 1 なので∣a→∣=∣b→∣=∣c→∣=1,a→⋅b→=b→⋅c→=c→⋅a→=12である。

点の位置ベクトルはOD→=34a→,OE→=23b→,OF→=13a→+23c→である。また G は辺 BC 上にあるので OG→=(1−u)b→+uc→ とおける。 D,E,F,G が同一平面上にあるから、DG→ は DE→ と DF→ の一次結合で表せる。すなわち DG→=λDE→+μDF→ とおく。各ベクトルを a→,b→,c→ で表すとDG→=−34a→+(1−u)b→+uc→,DE→=−34a→+23b→,DF→=−512a→+23c→である。係数を比較すると1−u=23λ,u=23μ,−34=−34λ−512μである。これを解くと u=34 である。したがってOG→=14OB→+34OC→である。

(2) EF→=OF→−OE→=13a→−23b→+23c→であり、EG→=OG→−OE→=−512b→+34c→である。内積関係を用いると∣EF→∣2=59,∣EG→∣2=61144,EF→⋅EG→=49である。

よって三角形の面積の2乗は[△EFG]2=14(∣EF→∣2∣EG→∣2−(EF→⋅EG→)2)である。代入して[△EFG]2=14(59⋅61144−1681)=495184となる。したがって [△EFG]=772 である。

青色の四角形 DEGF が平面 α の正四面体内の断面である。点 G が辺 BC を 3:1 に内分することが、(1) の係数 14,34 に対応する。

総評

難度6、目安時間26分。点 G を辺 BC 上の1変数で置き、同一平面条件を係数比較に落とすのが中心である。面積計算では ∣EG∣2=61/144 を含め、正四面体の内積がすべて 1/2 になることを使うため、交差項の符号を丁寧に扱う必要がある。典型ミスは、内分比から D,E,F の係数を逆にすること、また面積公式の最後の 1/4 を忘れることである。

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出典: 東北大学 2013年度 後期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。