Evolton
方針
線分 上の点を 、 と表す。三角形 は平面 上にあり、さらに第1象限側の三角形なので、平面との交点が三角形内にあるには座標が を満たせばよい。平面条件から を出し、線分条件と三角形内条件を合わせる。(2) は共有点の座標を で表し、原点からの距離の2乗を最小化する。
解答
(1)
線分 上の点を とおく。、 だから である。第3成分を整理すると なので である。
三角形 を含む平面は、切片形より である。点 がこの平面上にある条件は である。左辺を整理すると だから である。
線分上の点であるためには が必要である。したがって より である。
この範囲で交点の座標を確認すると である。 では なので、平面上の交点は三角形 の辺または内部にある。よって求める範囲は である。
(2)
(1) の共有点は である。原点からの距離の2乗を とおくと である。これを展開すると である。微分すると である。ここで である。したがって の符号は の符号で決まる。
範囲 では、 は で最小になる。このとき であり である。よって最小値は で、そのとき である。
総評
難度6、計算量6。目安時間は26分。線分と三角形の共有条件を、まず平面との交点として処理するのが基本である。 だけでなく、交点が三角形 の内部または辺上にあること、つまり座標が非負であることも確認する。(2) は距離の2乗を最小化する。展開は重いが、微分後に と因数分解でき、2次因子が常に正であることを示せば最小点が明確になる。 別解監査では、交点を三角形の重心座標で表す方法も可能だが、線分の媒介変数表示と同じ条件整理になるため独立解法として数えていない。