東北大 2014年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $\vec{O A} = \vec{a}$ 、 $\vec{O B} = \vec{b}$ とおき、点 $P$ を直線 $A N$ 上と直線 $B M$ 上の2通りに表して係数比較する。三角形内の2直線の交点なので、 $\vec{a}, \vec{b}$ の係数を比較して媒介変数を決めればよい。(2) は、 $O P$ が角の二等分線であることを、単位ベクトル方向の係数が等しいこととして表す。さらに $O P ⊥ B M$ を内積で書き、三角形が退化していないため $1 + \cos ∠ A O B \neq 0$ であることを使って辺の比を決める。

解答

(1) $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ とおく。点 $M$ は $O A$ を $2 : 1$ に内分するので $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{a}$ である。また点 $N$ は $O B$ を $t : 1$ に内分するので $\vec{O N} = \frac{t}{t + 1} \vec{b}$ である。

点 $P$ は線分 $A N$ 上にあるから、ある実数 $u$ を用いて $\vec{O P} = (1 - u) \vec{a} + u \frac{t}{t + 1} \vec{b}$ と書ける。また $P$ は線分 $B M$ 上にもあるから、ある実数 $v$ を用いて $\vec{O P} = v \frac{2}{3} \vec{a} + (1 - v) \vec{b}$ とも書ける。 $\vec{a}, \vec{b}$ は三角形の2辺の方向であり平行ではないので、係数を比較できる。したがって $1 - u = \frac{2}{3} v, \frac{t}{t + 1} u = 1 - v$ である。第1式から $v = \frac{3}{2} (1 - u)$ である。これを第2式へ代入して $\frac{t}{t + 1} u = 1 - \frac{3}{2} (1 - u) = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} u$ を得る。両辺を2倍して $\frac{2 t}{t + 1} u = - 1 + 3 u$ である。よって $1 = (3 - \frac{2 t}{t + 1}) u = \frac{t + 3}{t + 1} u$ なので $u = \frac{t + 1}{t + 3}$ である。

これを $A N$ 上の表示に代入すると $1 - u = 1 - \frac{t + 1}{t + 3} = \frac{2}{t + 3}$ であり $\frac{t}{t + 1} u = \frac{t}{t + 1} \cdot \frac{t + 1}{t + 3} = \frac{t}{t + 3}$ である。したがって $\vec{O P} = \frac{2 \vec{O A} + t \vec{O B}}{t + 3}$ である。

(2) $O A = A, O B = B$ とし、 $O A$ 、 $O B$ 方向の単位ベクトルをそれぞれ ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ とする。すると $\vec{O A} = A {\vec{e}}_{1}, \vec{O B} = B {\vec{e}}_{2}$ である。(1)より $\vec{O P} = \frac{2 A {\vec{e}}_{1} + t B {\vec{e}}_{2}}{t + 3}$ である。 $O P$ が $∠ A O B$ の二等分線であるためには、 ${\vec{e}}_{1}$ 方向と ${\vec{e}}_{2}$ 方向の係数が等しければよい。したがって $2 A = t B$ である。

次に $B M$ の方向ベクトルは $\vec{B M} = \vec{O M} - \vec{O B} = \frac{2}{3} A {\vec{e}}_{1} - B {\vec{e}}_{2}$ である。 $O P$ は角の二等分線方向なので、その方向ベクトルは ${\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ と同じ向きである。よって直交条件は $({\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}) \cdot (\frac{2}{3} A {\vec{e}}_{1} - B {\vec{e}}_{2}) = 0$ である。

ここで ${\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{1} = {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{2} = 1$ とおくと、上式は $\frac{2}{3} A - B + (\frac{2}{3} A - B) ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2}) = 0$ すなわち $(\frac{2}{3} A - B) (1 + {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2}) = 0$ である。三角形 $O A B$ は退化していないので、 $∠ A O B \neq 180^{\circ}$ であり $1 + {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} \neq 0$ である。したがって $B = \frac{2}{3} A$ を得る。よって $O A : O B = A : B = 3 : 2$ である。

さらに $2 A = t B$ に $B = 2 A / 3$ を代入して $2 A = t \cdot \frac{2}{3} A$ である。 $A > 0$ だから $t = 3$ である。したがって $O A : O B = 3 : 2,$ である。

総評

難度5、計算量4。目安時間は22分。ベクトルの交点計算と、角の二等分線・直交条件を組み合わせる問題である。(1) は $A N$ 上と $B M$ 上の2表示を作り、係数比較で確実に処理する。(2) では長さ $O A, O B$ を係数に含めてから単位ベクトルで考えると、角の二等分線条件 $2 A = t B$ が自然に出る。内積計算では $1 + {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} \neq 0$ を一言添え、退化三角形でないことを使うと論理が抜けにくい。別解監査では、質点法に似た比の処理も可能だが、角の二等分線と直交条件には結局ベクトルの長さと内積が必要になるため、係数比較の解法だけを収録した。

出典: 東北大学 2014年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

総評

東北大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問