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東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

平面上のベクトルa→，b→が∣a→∣=∣b→∣=1,a→⋅b→=−12を満たすとする。
ただし，記号a→⋅b→は
ベクトルa→とb→の内積を表す。
以下の問いに答えよ。

(1) 実数p，qに対して，
c→=pa→+qb→とおく。
このとき，次の条件∣c→∣=1,a→⋅c→=0,p>0を満たす実数p，qを求めよ。

(2) 平面上のベクトルx→が−1≦a→⋅x→≦1,1≦b→⋅x→≦2を満たすとき，∣x→∣のとりうる値の範囲を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安28分

ベクトル、方程式・不等式　内積の利用、範囲評価、微分による最大最小

方針

(1) は c⃗=pa⃗+qb⃗ を内積条件に代入し、a⃗⋅c⃗=0 から q=2p を得て、長さ条件で p,q を決める。(2)は u=a⃗⋅x⃗、v=b⃗⋅x⃗ と置き、∣x⃗∣2 を u,v で表す。長方形 −1≦u≦1,1≦v≦2 上で二次式 u2+uv+v2 の最小・最大を調べる。

解答

(1) c⃗=pa⃗+qb⃗ とする。∣a⃗∣=∣b⃗∣=1、a⃗⋅b⃗=−1/2 より a⃗⋅c⃗=pa⃗⋅a⃗+qa⃗⋅b⃗=p−q2 である。条件 a⃗⋅c⃗=0 から q=2p を得る。

また ∣c⃗∣2=(pa⃗+qb⃗)⋅(pa⃗+qb⃗)=p2+q2−pq である。q=2p を代入すると ∣c⃗∣2=p2+4p2−2p2=3p2 である。∣c⃗∣=1、p>0 より p=13,q=23 である。したがって p=13,q=23 である。

(2) u=a⃗⋅x⃗,v=b⃗⋅x⃗ とおく。a⃗,b⃗ は平行でないので、x⃗=ra⃗+sb⃗ と表せる。このとき u=r−s2,v=−r2+s である。これを解くと r=43u+23v,s=23u+43v である。

したがって ∣x⃗∣2=r2+s2−rs に代入して ∣x⃗∣2=43(u2+uv+v2) を得る。条件は −1≦u≦1,1≦v≦2 である。 v を固定すると、u2+uv+v2=(u+v2)2+34v2 である。1≦v≦2 では −v/2 が [−1,1] に入るので、固定した v に対する最小は u=−v/2 のときである。このとき値は 3v2/4 であり、1≦v≦2 で最小となるのは v=1 のときである。よって ∣x⃗∣min⁡2=43⋅34=1 である。

最大値は凸な二次式の長方形上の最大なので、頂点で調べればよい。4頂点で u2+uv+v2=1,3,3,7 となり、最大は (u,v)=(1,2) のときの7である。したがって ∣x⃗∣max⁡2=43⋅7=283 である。以上より 1≦∣x⃗∣≦2213 である。(u,v)=(a⃗⋅x⃗,b⃗⋅x⃗) 平面では、許される範囲は長方形になる。

総評

難度6、目安28分。u=a⃗⋅x⃗, v=b⃗⋅x⃗ と置けば、長さの範囲は長方形上の二次式の最大最小になる。最小では u=−v/2 が許容範囲に入ること、最大では4頂点を比較することを確認する。

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出典: 東北大学 2012年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。