東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

三角形 $ABC$ を含む平面を求める。点 $A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,0,3)$ を通るので、切片形から $$\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1$$ である。したがって $x+y+2z=6$ であり、法線ベクトルは $(1,1,2)$ である。

また、三角形 $ABC$ の重心は $$G=(\frac{6+0+0}{3},\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+3}{3})=(2,2,1)$$ である。線分 $PQ$ の中点 $M$ は$$M=(\frac{2a+0}{2},\frac{0+2b}{2},\frac{1+2a-1-4b}{2})=(a,b,a-2b)$$である。

(1)

直線 $MG$ が平面 $ABC$ と垂直であるためには、方向ベクトル $$\overrightarrow{GM}=M-G=(a-2,b-2,a-2b-1)$$ が法線ベクトル $(1,1,2)$ と平行であればよい。したがって、ある実数 $\lambda$ を用いて $$(a-2,b-2,a-2b-1)=\lambda (1,1,2)$$ と書ける。

成分を比較すると $$a-2=\lambda ,b-2=\lambda ,a-2b-1=2\lambda$$ である。前2式から $a=b$ である。また $\lambda =a-2$ を第3式へ代入して $a-2b-1=2(a-2)$ を得る。$a=b$ より $-a-1=2a-4$ であり $3a=3$ だから $a=1$ である。したがって $b=1$ である。よって である。

(2)

距離の2乗を$$F(a,b)=M{G}^2=(a-2{)}^2+(b-2{)}^2+(a-2b-1{)}^2$$とおく。$u=a-{\displaystyle \frac{5}{2}}$、$v=b-1$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(a,b)}& {\displaystyle =\frac{3}{2}+2u^2-4uv+5v^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}+2(u-v{)}^2+3v^2}\end{array}$$である。したがって$$F(a,b)\geqq \frac{3}{2}$$であり、等号が成り立つのは $u-v=0$ かつ $v=0$、すなわち $u=v=0$ のときに限る。

よって $a={\displaystyle \frac{5}{2}}$、$b=1$ のとき$$M{G}_{\min }=\sqrt{\frac{3}{2}}=\mathrm{<mfrac><msqrt><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msqrt><mn\; mathvariant="bold">2</mn></mfrac>}$$となる。したがって、長さの最小値は $\mathrm{<mstyle\; scriptlevel="0"\; displaystyle="true"><mfrac><msqrt><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msqrt><mn\; mathvariant="bold">2</mn></mfrac></mstyle>}$、そのとき である。