東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

与式は $$(a_{n+1}-a_n{)}^2=3(a_n+a_{n+1})$$ と書ける。以下、$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。条件より $b_n>0$ である。

(1)

$b_n=a_{n+1}-a_n$ を用いると $$b_n^2=3(a_n+a_{n+1})=3(2a_n+b_n)$$ である。したがって $${\displaystyle a_n=\frac{b_n^2-3b_n}{6},a_{n+1}=\frac{b_n^2+3b_n}{6}}$$ である。一方、$n+1$ に対して同じ式を用いると $${\displaystyle a_{n+1}=\frac{b_{n+1}^2-3b_{n+1}}{6}}$$ である。これらを等置して $$b_{n+1}^2-3b_{n+1}=b_n^2+3b_n$$ を得る。整理すると $$(b_{n+1}+b_n)(b_{n+1}-b_n-3)=0$$ である。$b_{n+1}+b_n>0$ だから $b_{n+1}=b_n+3$ である。

よって $$a_n+a_{n+2}=a_n+(a_{n+1}+b_{n+1})=2a_{n+1}+(b_{n+1}-b_n)=2a_{n+1}+3$$ である。したがって $a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}+3$ である。

(2)

上で示したように $b_{n+1}=b_n+3$ であるから、$\{b_n\}$ は公差3の等差数列である。初項 $b_1$ を求める。$a_1=3$ であり、$a_2=3+b_1$ だから $$b_1^2=3(a_1+a_2)=3(6+b_1)$$ である。よって $$b_1^2-3b_1-18=0,(b_1-6)(b_1+3)=0$$ である。$b_1>0$ より $b_1=6$ である。したがって $b_n=6+3(n-1)=3n+3$ である。

(3)

$a_n$ は $a_1=3$ から階差 $b_j$ を足して $$a_n=3+\sum _{j=1}^{n-1}{b}_j=3+\sum _{j=1}^{n-1}(3j+3)$$ である。ゆえに $${\displaystyle a_n=3+3\frac{(n-1)n}{2}+3(n-1)=\frac{3n(n+1)}{2}}$$ である。よって $${\displaystyle a_n=\frac{3n(n+1)}{2}}$$ である。

漸化式を隣り合う2本で比較せず、正の階差をその時点の $a_n$ だけで表す。$a_1$ から一般項を直接帰納し、その差を取って (1)(2) もまとめて得る。

与式を$$d_n=a_{n+1}-a_n>0$$とおくと$$d_n^2=3(a_n+a_{n+1})=3(2a_n+d_n)$$である。したがって $d_n$ は2次方程式$$d_n^2-3d_n-6a_n=0$$の正の解であり、$$d_n=\frac{3+\sqrt{9+24a_n}}{2}$$となる。

(3)

先に一般項を直接示す。$n=1$ では$$a_1=3=\frac{3\cdot 1\cdot 2}{2}$$である。いま$$a_n=\frac{3n(n+1)}{2}$$と仮定すると$$9+24a_n=9+36n(n+1)=9(2n+1{)}^2$$である。よって$$d_n=\frac{3+3(2n+1)}{2}=3(n+1)$$となり、$$a_{n+1}=a_n+d_n=\frac{3n(n+1)}{2}+3(n+1)=\frac{3(n+1)(n+2)}{2}$$である。数学的帰納法により$$a_n=\frac{3n(n+1)}{2}$$がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2)

一般項の差を取れば$$b_n=a_{n+1}-a_n=\frac{3(n+1)(n+2)-3n(n+1)}{2}=3(n+1)$$である。

(1)

同じ一般項を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n+a_{n+2}-2a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{3}{2}\{n(n+1)+(n+2)(n+3)-2(n+1)(n+2)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3}\end{array}$$だから$$a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}+3$$である。