東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $$S_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}$$ とおく。条件は $S_n=\frac{1}{a_{n+1}}+p$ である。

まず $n=1$ を代入すると、$a_1=1$ より $1=\frac{1}{a_2}+p$ である。したがって $$\frac{1}{a_2}=1-p,a_2=\frac{1}{1-p}$$ である。

次に $n\geqq 2$ について、$n$ の式と $n-1$ の式を引く。 $$S_n-S_{n-1}=(\frac{1}{a_{n+1}}+p)-(\frac{1}{a_n}+p)$$ である。左辺は $1\mathrm{/}{a}_n$ なので $$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$$ となる。よって $$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}$$ であり、$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$ である。

したがって $n\geqq 2$ では $$a_n=a_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}=\frac{1}{(1-p)2^{n-2}}$$ である。

(2)
(1) より$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n=1+\frac{1}{1-p}\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^{n-2}}$$である。ここで $m=n-2$ とおくと$$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^{n-2}}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m+2}{2^m}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m}{2^m}+2\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^m}$$である。基本的な等比級数の和から$$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^m}=2,\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m}{2^m}=2$$なので $$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^{n-2}}=2+4=6$$ である。

よって $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n=1+\frac{6}{1-p}$$ である。これが $20$ に等しいから $1+\frac{6}{1-p}=20$ であり、$1-p=\frac{6}{19}$ を得る。したがって $$p=\frac{13}{19}$$ である。これは $0<p<1$ を満たす。