東北大学 2018年度
後期・理系数学 後期 第4問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、帰納的定義の利用、極限計算
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
数列 a1,a2,…,an,… は
an=⎩⎨⎧021∣an−1+1∣−1an−12+2an−1(n=1),(n が偶数),(n が奇数かつ n≧3)
を満たすとする。
(1)n が奇数のとき、an を求めよ。
(2)n が偶数のとき、an を求めよ。
(3)
n→∞liman
を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
解法1
奇数番目だけを bm=a2m−1 とおくと、偶数番目を経由して bm+1+1=(bm+1)/4 という等比型の漸化式が得られる。初期値 b1=0 から奇数番目の一般項を求める。偶数番目は直前の奇数番目を平方根の式へ代入すれば直接求まる。どちらも −1 に近づくので極限も決まる。
解法2
bn=an+1 と平行移動して式を単純化し、奇数番目から次の奇数番目への2段階漸化式を作る。
解答
解法1
(1)
奇数番目だけを取り出して bm=a2m−1 とおく。b1=a1=0 である。 a2m−1=bm とする。偶数番目では a2m=21∣bm+1∣−1 である。後で得られるように bm+1>0 なので、絶対値は外してよい。次の奇数番目では a2m+1=a2m2+2a2m=(a2m+1)2−1 である。ところが a2m+1=21bm+1 だから bm+1+1=a2m+1+1=41(bm+1) である。 b1+1=1 より bm+1=4−(m−1) である。したがって bm=−1+4−(m−1) である。n=2m−1 と戻すと、n が奇数のとき an=−1+4−2n−1 である。
(2)
n=2m とする。(1)より a2m−1+1=4−(m−1) である。したがって
a2m=21a2m−1+1−1=214−(m−1)−1=2−m−1
である。よって n が偶数のとき an=−1+2−2n である。
(3)
(1)、(2)より、奇数番目では an=−1+4−2n−1 であり、偶数番目では an=−1+2−2n である。どちらの補正項も n→∞ で0に近づく。したがって limn→∞an=−1 である。
解法2
bn=an+1 とおく。すると
b1=1,
偶数 n では
奇数 n≧3 では
bn=bn−12
である。b1>0 から帰納的に bn>0 なので、絶対値は外せる。
(1)
cm=b2m−1 とおくと
b2m=21cm,cm+1=b2m2=41cm.
c1=1 だから
cm=4−(m−1).
したがって奇数 n=2m−1 では
an=bn−1=−1+4−(n−1)/2.
(2)
偶数 n=2m では
よって
an=−1+2−n/2.
(3)
奇数番目・偶数番目のいずれでも bn→0 だから
n→∞liman=−1.
