東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
奇数番目だけを取り出して $b_m=a_{2m-1}$ とおく。$b_1=a_1=0$ である。 $a_{2m-1}=b_m$ とする。偶数番目では $$a_{2m}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\mid }{b}_m+1\mathrm{\mid }}-1$$ である。後で得られるように $b_m+1>0$ なので、絶対値は外してよい。次の奇数番目では $$a_{2m+1}=a_{2m}^2+2a_{2m}=(a_{2m}+1{)}^2-1$$ である。ところが $$a_{2m}+1=\frac{1}{2}\sqrt{b_m+1}$$ だから $$b_{m+1}+1=a_{2m+1}+1=\frac{1}{4}(b_m+1)$$ である。 $b_1+1=1$ より $b_m+1=4^{-(m-1)}$ である。したがって $b_m=-1+4^{-(m-1)}$ である。$n=2m-1$ と戻すと、$n$ が奇数のとき $$a_n=-1+4^{-\frac{n-1}{2}}$$ である。

(2) $n=2m$ とする。(1)より $a_{2m-1}+1=4^{-(m-1)}$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2m}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{a_{2m-1}+1}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{4^{-(m-1)}}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{-m}-1}\end{array}$$である。よって $n$ が偶数のとき $$a_n=-1+2^{-\frac{n}{2}}$$ である。

(3)
(1)、(2)より、奇数番目では $$a_n=-1+4^{-\frac{n-1}{2}}$$ であり、偶数番目では $$a_n=-1+2^{-\frac{n}{2}}$$ である。どちらの補正項も $n\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-1$$ である。

$b_n=a_n+1$ と平行移動して式を単純化し、奇数番目から次の奇数番目への2段階漸化式を作る。

$b_n=a_n+1$ とおく。すると$$b_1=1,$$偶数 $n$ では$$b_n=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\mid }{b}_{n-1}\mathrm{\mid }},$$奇数 $n\geqq 3$ では$$b_n=b_{n-1}^2$$である。$b_1>0$ から帰納的に $b_n>0$ なので、絶対値は外せる。

(1)
$c_m=b_{2m-1}$ とおくと$$b_{2m}=\frac{1}{2}\sqrt{c_m},c_{m+1}=b_{2m}^2=\frac{1}{4}{c}_m\mathrm{.}$$$c_1=1$ だから$$c_m=4^{-(m-1)}\mathrm{.}$$したがって奇数 $n=2m-1$ では$$a_n=b_n-1=-1+4^{-(n-1)\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2)
偶数 $n=2m$ では$$b_{2m}=\frac{1}{2}\sqrt{4^{-(m-1)}}=2^{-m},$$よって$$a_n=-1+2^{-n\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(3)
奇数番目・偶数番目のいずれでも $b_n\to 0$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-1.$$