東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $n+1$日後までの感染者は$a_{n+1}$人である。また，$n$日後までに感染していた$a_n$人が，それぞれ2人ずつ新たに感染させる。したがって$$a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n(n=1,2,\dots )\mathrm{.}$$(2) 初期値は$a_1=1,a_2=3$である。$b_n=a_{n+1}+a_n$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =a_{n+2}+a_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(a_{n+1}+a_n)=2b_n\mathrm{.}}\end{array}$$$b_1=4$より$b_n=2^{n+1}$，したがって$a_{n+1}=2^{n+1}-a_n$である。これを用いる帰納法で$$a_n=\frac{2^{n+1}+(-1{)}^n}{3}$$を得る。実際，$n=1$で成立し，$n$で成立すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =2^{n+1}-\frac{2^{n+1}+(-1{)}^n}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2^{n+2}+(-1{)}^{n+1}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) (1)と$a_n>0$から$$a_{n+2}-a_{n+1}=2a_n>0$$であり，数列は狭義単調増加する。一方$$a_{13}=5461<10000,a_{14}=10923>10000.$$よって初めて1万人を超えるのは$14$日後である。

(1) は感染から2日後に初めて新たな感染を起こす人の範囲を累計数で数える。(2)は漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$の特性方程式を因数分解し，初期値から2つの係数を決定する。(3)は連続する2項を比較して「初めて」を確認する。

(1) $n+2$日後には，$n+1$日後までの感染者$a_{n+1}$人に加え，$n$日後までに感染していた$a_n$人がそれぞれ2人ずつ新たに感染させる。したがって$$a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n(n=1,2,\dots )\mathrm{.}$$(2) 特性方程式は$$r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0.$$よって$a_n=A{2}^n+B(-1{)}^n$と表せる。初期値から$$2A-B=1,4A+B=3$$であり，$A=2\mathrm{/}3,B=1\mathrm{/}3$を得る。したがって$$a_n=\frac{2^{n+1}+(-1{)}^n}{3}\mathrm{.}$$(3) 漸化式と$a_n>0$から$$a_{n+2}-a_{n+1}=2a_n>0$$であり，数列は狭義単調増加する。また$$a_{13}=5461<10000<10923=a_{14}\mathrm{.}$$したがって感染者数が初めて1万人を超えるのは$14$日後である。