東北大 2014年度理系（後期）数学第3問｜問題・解答・解説

方針

整数点を数えるには、各整数 $x$ に対して許される整数 $y$ の個数を数える。条件は $0 ≦ y ≦ (2 x + 3) / 3$ なので、個数は $⌊ (2 x + 3) / 3 ⌋ + 1$ である。 $x$ を3で割った余りで見ると増分が規則的になり、 $D_{n + 1}$ は $D_{n}$ に $x = 3 n + 1, 3 n + 2, 3 n + 3$ の3本の縦列を加えたものとして数えられる。面積は上側境界を積分して求め、最後は $a_{n}$ と $S_{n}$ の式を代入して極限を計算する。

解答

(1) $n = 1$ のとき $0 ≦ x ≦ 3$ であり、整数 $x$ は $0, 1, 2, 3$ である。条件 $0 ≦ 3 y ≦ 2 x + 3$ は $0 ≦ y ≦ \frac{2 x + 3}{3}$ である。

各 $x$ について整数 $y$ の個数を数えると $\begin{array}{ccc} x & 0 ≦ y ≦ (2 x + 3) / 3 & 個数 \\ 0 & 0 ≦ y ≦ 1 & 2 \\ 1 & 0 ≦ y ≦ 5 / 3 & 2 \\ 2 & 0 ≦ y ≦ 7 / 3 & 3 \\ 3 & 0 ≦ y ≦ 3 & 4 \end{array}$ である。したがって $a_{1} = 2 + 2 + 3 + 4 = 11$ である。

(2) $D_{n + 1}$ は $D_{n}$ に、整数 $x$ について $x = 3 n + 1, 3 n + 2, 3 n + 3$ の3本の縦列を加えたものである。各列での整数 $y$ の個数を数える。 $x = 3 n + 1$ のとき $\frac{2 x + 3}{3} = \frac{6 n + 5}{3} = 2 n + \frac{5}{3}$ なので、整数 $y$ は $0, 1, \dots, 2 n + 1$ の $2 n + 2$ 個である。 $x = 3 n + 2$ のとき $\frac{2 x + 3}{3} = \frac{6 n + 7}{3} = 2 n + \frac{7}{3}$ なので、整数 $y$ は $2 n + 3$ 個である。 $x = 3 n + 3$ のとき $\frac{2 x + 3}{3} = \frac{6 n + 9}{3} = 2 n + 3$ なので、整数 $y$ は $2 n + 4$ 個である。

したがって増える整数点の個数は $(2 n + 2) + (2 n + 3) + (2 n + 4) = 6 n + 9$ であり $a_{n + 1} = a_{n} + 6 n + 9$ である。

(3)

(2) より $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} (6 k + 9)$ である。 $a_{1} = 11$ だから $\begin{aligned} a_{n} & = 11 + 6 \frac{(n - 1) n}{2} + 9 (n - 1) \\ = 11 + 3 n^{2} - 3 n + 9 n - 9 \\ = 3 n^{2} + 6 n + 2 \end{aligned}$ である。よって $a_{n} = 3 n^{2} + 6 n + 2$ である。

(4)

領域 $D_{n}$ の面積は $S_{n} = \int_{0}^{3 n} \frac{2 x + 3}{3} d x$ である。したがって $\begin{aligned} S_{n} & = {[\frac{x^{2}}{3} + x]}_{0}^{3 n} \\ = 3 n^{2} + 3 n \end{aligned}$ である。

よって $\begin{aligned} \frac{a_{n}}{S_{n}} - 1 & = \frac{3 n^{2} + 6 n + 2}{3 n^{2} + 3 n} - 1 \\ = \frac{3 n + 2}{3 n^{2} + 3 n} \end{aligned}$ である。したがって $\begin{aligned} n (\frac{a_{n}}{S_{n}} - 1) & = \frac{n (3 n + 2)}{3 n^{2} + 3 n} \\ = \frac{3 n + 2}{3 n + 3} \end{aligned}$ であり、極限値は $1$ である。

別解

解法2（床関数を3列ずつまとめる）

方針

各整数 $x$ に対する整数 $y$ の個数を床関数で表し、 $x = 3 k, 3 k + 1, 3 k + 2$ の3種類に分けて和を直接計算する。得られた $a_{n}$ から (1)(2) を確認し、面積との比の極限へ進む。

解答

各整数 $x$ を固定すると、条件を満たす整数 $y$ の個数は $⌊ \frac{2 x + 3}{3} ⌋ + 1$ である。 $x$ を3で割った余りごとに分けると $\begin{array}{ccc} x & k の範囲 & y の個数 \\ 3 k & 0 ≦ k ≦ n & 2 k + 2 \\ 3 k + 1 & 0 ≦ k ≦ n - 1 & 2 k + 2 \\ 3 k + 2 & 0 ≦ k ≦ n - 1 & 2 k + 3 \end{array}$ となる。

(3)

上の表から直接和を取ると $\begin{aligned} a_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (2 k + 2) + \sum_{k = 0}^{n - 1} (2 k + 2) + \sum_{k = 0}^{n - 1} (2 k + 3) \\ = (n + 1) (n + 2) + n (n + 1) + n (n + 2) \\ = 3 n^{2} + 6 n + 2 \end{aligned}$ である。

(1)

$n = 1$ を代入して $a_{1} = 3 + 6 + 2 = 11$ である。

(2) $a_{n + 1} - a_{n} = 3 {(n + 1)^{2} - n^{2}} + 6 = 6 n + 9$ だから $a_{n + 1} = a_{n} + 6 n + 9$ である。

(4) $S_{n} = \int_{0}^{3 n} \frac{2 x + 3}{3} d x = 3 n^{2} + 3 n$ なので $n (\frac{a_{n}}{S_{n}} - 1) = \frac{3 n + 2}{3 n + 3} ⟶ 1$ である。

総評

難度5、計算量5。目安時間は22分。格子点を各 $x$ ごとに縦に数える問題である。(1) は小さい表で確認し、(2) では $D_{n + 1}$ が $D_{n}$ に3列を追加するだけであることを使うと、床関数を直接扱わずに済む。増分 $6 n + 9$ を出した後は階差数列で $a_{n}$ が求まる。(4) は面積 $S_{n} = 3 n^{2} + 3 n$ と比較するだけだが、 $a_{n} / S_{n} - 1$ の分子を取り違えないようにする。別解監査では、解法1は領域を3列ずつ拡張する階差法、解法2は床関数の和を剰余類で直接計算する方法であり、独立した数え方として両方を収録した。

出典: 東北大学 2014年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2014年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問