東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$ とする。重みの和は $4+1+2+3=10$ である。係数つき平方和$$4\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{\mid }\overrightarrow{BP}{\mathrm{\mid }}^2+3\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2$$を平方完成すると、その中心は重みつき平均 ${\displaystyle \frac{4O+A+2B+3C}{10}}$ である。

これが $M(1,1\mathrm{/}2,1)$ に等しいので $4O+A+2B+3C=10M$ である。各点の座標を代入すると $$(2,1,1)+2(1,2,3)+3(a,b,c)=(10,5,10)$$ である。すなわち $$(4,5,7)+(3a,3b,3c)=(10,5,10)$$ だから $$3a=6,3b=0,3c=3$$ である。よって $a=2,b=0,c=1$ である。

このとき $C=(2,0,1)$ である。平方完成の定数項を求める。一般に $$\sum w_i\mathrm{\mid }P-X_i{\mathrm{\mid }}^2=10\mathrm{\mid }P-M{\mathrm{\mid }}^2+\sum w_i\mathrm{\mid }{X}_i{\mathrm{\mid }}^2-10\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2$$ である。ここで $${\displaystyle \mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^2=6,\mathrm{\mid }B{\mathrm{\mid }}^2=14,\mathrm{\mid }C{\mathrm{\mid }}^2=5,\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2=1+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{4}}$$ なので $$\sum w_i\mathrm{\mid }{X}_i{\mathrm{\mid }}^2=1\cdot 6+2\cdot 14+3\cdot 5=49$$ であり、$${\displaystyle 49-10\cdot \frac{9}{4}=49-\frac{45}{2}=\frac{53}{2}}$$ である。したがって条件式は $${\displaystyle 10\mathrm{\mid }PM{\mathrm{\mid }}^2+\frac{53}{2}=30}$$ となる。よって $${\displaystyle 10\mathrm{\mid }PM{\mathrm{\mid }}^2=\frac{7}{2},\mathrm{\mid }PM{\mathrm{\mid }}^2=\frac{7}{20}}$$ である。球面の半径は ${\displaystyle \sqrt{\frac{7}{20}}}$ である。

$P=(x,y,z)$ として左辺を成分ごとに展開する。球面の一次項から中心を読み、指定中心 $M$ と係数を比較して $a,b,c$ を決めた後、定数項から半径を出す。

$P=(x,y,z)$ とおく。左辺を展開すると、2次項の係数は各成分について$$4+1+2+3=10$$である。一次項は$$(-8-6a)x+(-10-6b)y+(-14-6c)z$$となる。

一方、中心が $M=(1,1\mathrm{/}2,1)$ の球面を表すなら、2次部分と一次部分は$$10\{(x-1{)}^2+{(y-\frac{1}{2})}^2+(z-1{)}^2\}$$と同じでなければならない。この式の一次項は$$-20x-10y-20z$$だから、係数比較により$$-8-6a=-20,-10-6b=-10,-14-6c=-20$$である。よって$$a=2,b=0,c=1$$を得る。

このとき $C=(2,0,1)$ である。左辺の定数項は$$\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{\mid }B{\mathrm{\mid }}^2+3\mathrm{\mid }C{\mathrm{\mid }}^2=6+2\cdot 14+3\cdot 5=49$$である。したがって左辺全体は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 10(x^2+y^2+z^2)-20x-10y-20z+49}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =10\{(x-1{)}^2+{(y-\frac{1}{2})}^2+(z-1{)}^2\}+\frac{53}{2}}\end{array}$$となる。これが30に等しいので$$10\mathrm{\mid }PM{\mathrm{\mid }}^2=30-\frac{53}{2}=\frac{7}{2}$$であり、$$\mathrm{\mid }PM{\mathrm{\mid }}^2=\frac{7}{20}$$を得る。よって半径は$$\sqrt{\frac{7}{20}}$$である。