東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

点$A_j$に対応する単位ベクトルを $$\vec{u}=\overrightarrow{O{A}_j}$$ とする。仮定より，ある$k,l$が存在して $$\vec{u}=\overrightarrow{O{A}_k}+\overrightarrow{O{A}_l}$$ である。ここで $$\vec{v}=\overrightarrow{O{A}_k},\vec{w}=\overrightarrow{O{A}_l}$$ とおくと，$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$はいずれも長さ1のベクトルであり $\vec{u}=\vec{v}+\vec{w}$ を満たす。

両辺の長さの2乗を取ると$$1=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{v}+\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{v}\cdot \vec{w}=2+2\vec{v}\cdot \vec{w}$$である。したがって $$\vec{v}\cdot \vec{w}=-\frac{1}{2}$$ であり，$\vec{v}$と$\vec{w}$のなす角は${120}^{\circ }$である。

2つの単位ベクトルの和$\vec{v}+\vec{w}$は，$\vec{v}$と$\vec{w}$の角の二等分線方向を向く。なす角が${120}^{\circ }$なので，$\vec{v}$と$\vec{w}$は$\vec{u}$の方向からそれぞれ${60}^{\circ }$ずれた方向にある。つまり，$\vec{u}$を中心$O$のまわりに${60}^{\circ }$回転したベクトルと，$-{60}^{\circ }$回転したベクトルが，どちらも与えられた点集合に含まれる。

以上は任意の$j$について成り立つ。したがって，点集合は中心$O$の${60}^{\circ }$回転で閉じている。

円周上の1点を${60}^{\circ }$ずつ回転すると，元の点に戻るまでに $6$ 個の相異なる点が現れる。途中で戻ることは，${60}^{\circ },{120}^{\circ },{180}^{\circ },{240}^{\circ },{300}^{\circ }$の回転で同じ点になることを意味するが，半径1の円周上では起こらない。よって点集合は6個ずつの組に分かれる。

したがって点の総数$n$は6の倍数である。

円周上の各点を絶対値1の複素数とみなす。$z=u+v$を$z$で割り，$U=u\mathrm{/}z$に対して$\mathrm{\mid }U\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1-U\mathrm{\mid }=1$を使うと，$U$の実部が$1\mathrm{/}2$と決まる。したがって$u,v$は$z$を$\pm {60}^{\circ }$回転した点であり，集合を6点の回転軌道に分解できる。

各点の複素数表示の集合を$Z$とする。すべての$z\in Z$について$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$であり，仮定から，ある$u,v\in Z$が存在して$$z=u+v$$となる。$z\mathrm{\ne }0$なので$$U=\frac{u}{z},V=\frac{v}{z}$$とおけば$$U+V=1,\mathrm{\mid }U\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }V\mathrm{\mid }=1$$である。$V=1-U$より$$1=\mathrm{\mid }1-U{\mathrm{\mid }}^2=1-2<mrow><mi\; mathvariant="normal">R</mi><mi\; mathvariant="normal">e</mi></mrow>U+\mathrm{\mid }U{\mathrm{\mid }}^2=2-2<mrow><mi\; mathvariant="normal">R</mi><mi\; mathvariant="normal">e</mi></mrow>U\mathrm{.}$$したがって$$<mrow><mi\; mathvariant="normal">R</mi><mi\; mathvariant="normal">e</mi></mrow>U=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }U\mathrm{\mid }=1$だから$$U=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\mathrm{.}$$また$V=1-U$なので，$U,V$はこの2数を1つずつ取る。$$\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$とおくと，$u,v$は$z\omega ,z\bar{\omega }$である。したがって任意の$z\in Z$に対して$z\omega \in Z$，すなわち集合$Z$は${60}^{\circ }$回転で閉じている。

1点$z$から$$z,z\omega ,z{\omega }^2,\dots ,z{\omega }^5$$という6個の相異なる点が得られ，${\omega }^6=1$で元へ戻る。よって$Z$は互いに交わらない6点の軌道に分かれるから，点の総数$n$は6の倍数である。