東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{OA}=(3,1),\overrightarrow{OB}=(1,2)$$ なので $P=(x,y)=(3s+t,s+2t)$ である。この線形変換の行列式は $3\cdot 2-1\cdot 1=5\mathrm{\ne }0$ だから，六角形の各辺と頂点はつぶれずに移る。

まず$(s,t)$の範囲を調べる。条件 $$-1\leqq s\leqq 1,-1\leqq t\leqq 1,-1\leqq s+t\leqq 1$$ は，$st$平面で6本の直線に囲まれた六角形を表す。その頂点は，隣り合う境界線の交点から $(1,0),(1,-1),(0,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1)$ である。

これらを$(x,y)=(3s+t,s+2t)$で移すと，順に $(3,1),(2,-1),(-1,-2),(-3,-1),(-2,1),(1,2)$ となる。したがって$D$はこれら6点をこの順に結んだ六角形である。

(2) $$\overrightarrow{OC}=(-1,1)$$ だから$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}=(3s+t,s+2t)\cdot (-1,1)=-3s-t+s+2t=-2s+t$$である。これは$(s,t)$について一次式なので，最大値は(1)で得た六角形の頂点で生じる。

各頂点での値は$$\begin{array}{cc}(s,t)& -2s+t\\ (1,0)& -2\\ (1,-1)& -3\\ (0,-1)& -1\\ (-1,0)& 2\\ (-1,1)& 3\\ (0,1)& 1\end{array}$$である。よって最大値は $3$ であり，そのとき$(s,t)=(-1,1)$である。このとき $P=(3(-1)+1,-1+2)=(-2,1)$ である。

(1) は$(s,t)$平面の6つの頂点を線形写像$P=(3s+t,s+2t)$で移す。(2)では頂点を総当たりせず，目的式$-2s+t$を，条件から直ちに上から抑える。等号候補$(s,t)=(-1,1)$が残りの条件も満たすことを確認して最大値と点$P$を決める。

(1) 条件$$-1\leqq s\leqq 1,-1\leqq t\leqq 1,-1\leqq s+t\leqq 1$$が表す六角形の頂点は$$(1,0),(1,-1),(0,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1)$$である。一方，$$P=(3s+t,s+2t)$$であり，変換の行列式は$5\mathrm{\ne }0$なので辺や頂点はつぶれない。これらの像は順に$$(3,1),(2,-1),(-1,-2),(-3,-1),(-2,1),(1,2)$$となる。したがって$D$はこの6点を順に結ぶ六角形である。

(2) $$\overrightarrow{OC}=(-1,1)$$より$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}=(3s+t,s+2t)\cdot (-1,1)=-2s+t$$である。条件$s\geqq -1$，$t\leqq 1$から$$-2s+t\leqq 2+1=3$$を得る。等号が成り立つには$s=-1,t=1$であればよく，この組は$$-1\leqq s+t=0\leqq 1$$も満たす。したがって最大値は$3$である。そのとき$$P=(3(-1)+1,-1+2)=(-2,1)$$となる。