東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

楕円 $x^2+4y^2=1$ の第1象限部分なので、$$P=(\cos \theta ,\frac{1}{2}\sin \theta )(0<\theta <\frac{\pi }{2})$$とおける。

陰関数微分により $${\displaystyle 2x+8y\frac{dy}{dx}=0}$$ だから、$P$ における接線 $l$ の傾きは $${\displaystyle -\frac{x}{4y}=-\frac{\cos \theta }{2\sin \theta }}$$ である。したがって法線 $m$ の傾きは $2\tan \theta$ である。よって $m$ の方程式は $${\displaystyle y-\frac{1}{2}\sin \theta =2\tan \theta (x-\cos \theta )}$$ である。

$x$ 軸との交点を求めるため $y=0$ とすると $${\displaystyle -\frac{1}{2}\sin \theta =2\frac{\sin \theta }{\cos \theta }(x-\cos \theta )}$$ である。$\sin \theta >0$ なので割って $${\displaystyle x-\cos \theta =-\frac{1}{4}\cos \theta }$$ となり、$x$ 切片は ${\displaystyle \frac{3}{4}\cos \theta }$ である。

次に $y$ 軸との交点を求めるため $x=0$ とすると $${\displaystyle y-\frac{1}{2}\sin \theta =-2\sin \theta }$$ だから、$y$ 切片は ${\displaystyle -\frac{3}{2}\sin \theta }$ である。三角形の面積は切片の絶対値を用いて$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cos \theta \cdot \frac{3}{2}\sin \theta =\frac{9}{16}\sin \theta \cos \theta =\frac{9}{32}\sin 2\theta$$である。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ では $0<2\theta <\pi$ なので、$S$ は $2\theta =\pi \mathrm{/}2$、すなわち $\theta =\pi \mathrm{/}4$ のとき最大となる。

したがって最大値は ${\displaystyle \frac{9}{32}}$ であり、そのとき $${\displaystyle P=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}})}$$ である。

点を $(p,q)$ のまま扱い、楕円の法線方向 $(p,4q)$ から2つの切片を直接出す。面積は $pq$ に比例するため、楕円の式そのものへ相加・相乗平均を適用する。

点 $P=(p,q)$ とおく。ただし$$p>0,q>0,p^2+4q^2=1$$である。楕円 $x^2+4y^2=1$ の $P$ における法線方向ベクトルは $(p,4q)$ だから、法線 $m$ は$$(x,y)=(p,q)+\lambda (p,4q)$$と表せる。

$x$ 軸との交点では $q+4q\lambda =0$ より $\lambda =-1\mathrm{/}4$ である。したがって $x$ 切片は$$p-\frac{p}{4}=\frac{3p}{4}$$である。$y$ 軸との交点では $p+p\lambda =0$ より $\lambda =-1$ であり、$y$ 切片は$$q-4q=-3q$$である。

よって三角形の面積は$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3p}{4}\cdot 3q=\frac{9pq}{8}$$である。一方、$$4pq\leqq p^2+4q^2=1$$だから$$S\leqq \frac{9}{32}$$である。等号は $p=2q$ のときに成り立つ。これと $p^2+4q^2=1$ を連立すると$$p=\frac{1}{\sqrt{2}},q=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$となる。したがって$$S_{\max }=\frac{9}{32},P=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}})$$である。