東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

点 $P$ を $P=(u,v)$ とおく。$P\in D$ であるから $u^3-u>v>-u$ であり、特に $$u>0,u+v>0,v-u^3+u<0$$ である。

曲線 $C:y=x^3-x$ の $x=t$ における接線を求める。導関数は $3x^2-1$ なので、接線は $y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)$ すなわち $y=(3t^2-1)x-2t^3$ である。この接線が $P=(u,v)$ を通る条件は $v=(3t^2-1)u-2t^3$ であり、整理して $F(t)=2t^3-3u{t}^2+u+v=0$ である。

この3次方程式の実根の個数を調べる。まず $$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=-\mathrm{\infty },F(0)=u+v>0$$ だから、$(-\mathrm{\infty },0)$ に少なくとも1つの根がある。また $$F(u)=2u^3-3u^3+u+v=v-u^3+u<0$$ であるから、$(0,u)$ に少なくとも1つの根がある。さらに $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=\mathrm{\infty }$$ なので、$(u,\mathrm{\infty })$ に少なくとも1つの根がある。

3次方程式の根は高々3個であり、上の3つの区間は互いに交わらない。したがって実根はちょうど3個あり、それぞれ異なる。各根は $P$ を通る $C$ の接線の接点に対応するので、$P$ を通り $C$ に接する直線は3本存在する。

(2)

3つの接点の $x$ 座標を $t_1,t_2,t_3$ とする。方程式 $2t^3-3u{t}^2+u+v=0$ の根と係数の関係より $${\displaystyle t_1+t_2+t_3=\frac{3u}{2},t_1{t}_2+t_2{t}_3+t_3{t}_1=0}$$ である。

接線の傾きは $3t_i^2-1$ である。傾きの和が0である条件は $$(3t_1^2-1)+(3t_2^2-1)+(3t_3^2-1)=0$$ すなわち $t_1^2+t_2^2+t_3^2=1$ である。一方、$$t_1^2+t_2^2+t_3^2=(t_1+t_2+t_3{)}^2-2(t_1{t}_2+t_2{t}_3+t_3{t}_1)={\left(\frac{3u}{2}\right)}^2$$だから $${\displaystyle {\left(\frac{3u}{2}\right)}^2=1}$$ である。$u>0$ より $${\displaystyle u=\frac{2}{3}}$$ である。

また、傾きの積が0であるから、ある $i$ について $3t_i^2-1=0$ である。よって、その根を $r$ とおくと $${\displaystyle r=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。$u=2\mathrm{/}3$ のとき、根の和は1、2根ずつの積の和は0である。根の1つが $r$ なら、3根の積は $r(r^2-r)=r^3-r^2$ である。一方、根と係数の関係より $${\displaystyle t_1{t}_2{t}_3=-\frac{u+v}{2}=-\frac{2\mathrm{/}3+v}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle v=-2(r^3-r^2)-\frac{2}{3}}$$ である。

$r=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき $${\displaystyle v=-\frac{2}{3\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}}$$ である。これは $${\displaystyle -\frac{2}{3}<v<-\frac{10}{27}=u^3-u}$$ を満たすので $P\in D$ である。

$r=-1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき $${\displaystyle v=\frac{2\sqrt{3}}{9}}$$ となるが、これは $v<u^3-u=-10\mathrm{/}27$ を満たさない。よって不適である。

以上より求める点は $${\displaystyle P=(\frac{2}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{9})}$$ である。