東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) 領域$D$は単位円の内部で，放物線$y=x^2-1$以上の部分である。両曲線へ代入すると$$x^2+(x^2-1{)}^2=1⟺x^2(x^2-1)=0$$だから，交点は$(-1,0),(0,-1),(1,0)$である。下の境界はこの3点を通る放物線弧，上の境界は単位円の上半円弧となる。

(2) 直線は固定点$S=(-2,-2)$を通る。下限は放物線への接線で決まる。交点方程式は$$x^2-kx+1-2k=0$$であり，接する条件から$$k^2+8k-4=0,k=-4\pm 2\sqrt{5}\mathrm{.}$$接点の$x$座標は重解$x=k\mathrm{/}2=-2\pm \sqrt{5}$である。負の根では$x=-2-\sqrt{5}<-1$となり$D$の境界外なので，$$k_{\min }=2\sqrt{5}-4.$$上限は単位円への接線で決まる。直線$kx-y+2k-2=0$と原点の距離を1とすると$$\frac{\mathrm{\mid }2k-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{k^2+1}}=1⟺3k^2-8k+3=0,$$よって$k=(4\pm \sqrt{7})\mathrm{/}3$である。小さい根に対する接点は下半円上，大きい根に対する接点は上半円上にあるので$$k_{\max }=\frac{4+\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$端の値でも接点を共有するから，求める範囲は$$2\sqrt{5}-4\leqq k\leqq \frac{4+\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$

共有点$(x,y)$に対して$k=(y+2)\mathrm{/}(x+2)$と表す。領域内では$x+2>0$なので，固定した$x$では$k$は$y$とともに増加する。したがって最小値は下側の放物線上，最大値は上半円上でそれぞれ1変数の微分に帰着する。

(1) $D$は単位円の内部で放物線$y=x^2-1$より上側の部分であり，境界の交点は$(-1,0),(0,-1),(1,0)$である。

(2) 共有点$(x,y)\in D$では$k=(y+2)\mathrm{/}(x+2)$である。$x+2>0$なので，固定した$x$では$y$とともに増加する。

最小値は下側の放物線上で生じる。$$h(x)=\frac{x^2+1}{x+2},h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x^2+4x-1}{(x+2{)}^2}\mathrm{.}$$分子は$-1\leqq x<-2+\sqrt{5}$で負，$-2+\sqrt{5}<x\leqq 1$で正だから，$$k_{\min }=h(-2+\sqrt{5})=2\sqrt{5}-4.$$最大値は上半円上で生じる。$$(x,y)=(\cos \phi ,\sin \phi )$$とおくと$$K(\phi )=\frac{\sin \phi +2}{\cos \phi +2},K^{\mathrm{\prime }}(\phi )=\frac{1+2(\sin \phi +\cos \phi )}{(\cos \phi +2{)}^2}\mathrm{.}$$分子は$0\leqq \phi \leqq \pi$でただ1度0となり，その前で正，後で負である。したがってその点が唯一の最大点であり，$$\sin \phi +\cos \phi =-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$この点は第2象限にあるから$$\sin \phi -\cos \phi =\sqrt{7}\mathrm{/}2$$であり，$$\sin \phi =\frac{-1+\sqrt{7}}{4},\cos \phi =\frac{-1-\sqrt{7}}{4}\mathrm{.}$$よって$$k_{\max }=\frac{4+\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$以上から$$2\sqrt{5}-4\leqq k\leqq \frac{4+\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$