東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $m,n$はいずれも$l$に垂直であり，それぞれ平面$\alpha ,\beta$上にある。したがって$m,n$のなす角は2平面$\alpha ,\beta$のなす角である。

三角形$OPQ$において $$OP=\sqrt{3},OQ=2,PQ=1$$ である。$\mathrm{\angle }POQ=\phi$とすると，余弦定理より $$1^2=(\sqrt{3}{)}^2+2^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\cos \phi$$ だから $$\cos \phi =\frac{3+4-1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。よって $\phi ={30}^{\circ }$ である。

点$P$は平面$\alpha$上にある。点$Q$から平面$\alpha$までの距離は，$OQ$に対して角${30}^{\circ }$の反対側の高さなので $2\sin {30}^{\circ }=1$ である。$T$は$PQ$上で$PT=t$，$PQ=1$だから，$T$から平面$\alpha$までの距離は $t$ である。

半径$\sqrt{2}$の球を，中心から距離$d$の平面で切ると，切り口の円の半径の2乗は $2-d^2$ である。ここでは$d=t$なので，切り口の面積は $\pi (2-t^2)$ である。

(2)
今度は平面$\beta$までの距離を考える。点$Q$は平面$\beta$上にあり，点$P$から平面$\beta$までの距離は $$OP\sin {30}^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。$QT=1-t$なので，$T$から平面$\beta$までの距離は $\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t)}& {\displaystyle =\pi (2-t^2)+\pi \{2-{(\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t))}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \{4-t^2-\frac{3}{4}(1-t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{13}{4}+\frac{3}{2}t-\frac{7}{4}{t}^2)}\end{array}$$である。ここで$0\leqq t\leqq 1$である。

平方完成すると$$\frac{13}{4}+\frac{3}{2}t-\frac{7}{4}{t}^2=-\frac{7}{4}{(t-\frac{3}{7})}^2+\frac{25}{7}$$である。${\displaystyle \frac{3}{7}}$は$[0,1]$に含まれるので，最大値は $\frac{25\pi }{7}$ であり，そのとき $t=\frac{3}{7}$ である。

交線$l$を$z$軸，平面$\alpha$を$xz$平面，直線$m$を$x$軸に取る。余弦定理から$m,n$の角が${30}^{\circ }$と分かるので，$P,Q,T$を座標表示できる。各平面への距離を平面の法線との内積で直接求め，球の切り口面積を2次式として最大化する。

(1) $l$を$z$軸，$\alpha$を$xz$平面，$m$を$x$軸とする。三角形$OPQ$で$$OP=\sqrt{3},OQ=2,PQ=1$$だから，余弦定理より$\mathrm{\angle }POQ={30}^{\circ }$である。したがって座標を$$P=(\sqrt{3},0,0),Q=(\sqrt{3},1,0)$$と選べる。$PT=t$，$PQ=1$より$$T=(\sqrt{3},t,0)\mathrm{.}$$平面$\alpha$は$y=0$だから，$T$から$\alpha$までの距離は$t$である。半径$\sqrt{2}$の球を中心から距離$d$の平面で切った円の面積は$\pi (2-d^2)$なので，求める面積は$$\pi (2-t^2)$$である。

(2) 平面$\beta$は，$z$軸と方向ベクトル$$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$$を含む。よってその単位法線ベクトルを$$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$$と取れる。したがって$T$から$\beta$までの距離は$$\mid -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t\mid =\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)$$である。ゆえに2つの切り口の面積の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t)}& {\displaystyle =\pi (2-t^2)+\pi \{2-\frac{3}{4}(1-t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \{-\frac{7}{4}{(t-\frac{3}{7})}^2+\frac{25}{7}\}\mathrm{.}}\end{array}$$$0\leqq t\leqq 1$で$3\mathrm{/}7$はこの範囲内にあるから，$$\max f(t)=\frac{25\pi }{7}$$であり，そのとき$t=3\mathrm{/}7$である。