東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

準備
直線 $l:y=ax+b$ を $C,D$ に代入すると、それぞれ$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C:}& {\displaystyle (1-a^2)x^2-2abx-(b^2+1)=0,}\\ {\displaystyle D:}& {\displaystyle (1-a^2)x^2-2abx+(1-b^2)=0}\end{array}$$となる。$a^2\mathrm{\ne }1$ のときの判別式は$${\mathrm{\Delta }}_C=4(b^2+1-a^2),{\mathrm{\Delta }}_D=4(a^2+b^2-1)$$である。

(1)
$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ なら ${\mathrm{\Delta }}_C>0$ なので、$C$ と $l$ は常に2点で交わる。$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1$ では$${\mathrm{\Delta }}_C>0⟺b^2>a^2-1.$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1$ では2次の項が消える。$b\mathrm{\ne }0$ なら一次方程式となって交点は1個、$b=0$ なら解はないため、2点で交わることはない。よって求める範囲は$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1\text{または}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1,b^2>a^2-1\mathrm{.}$$(2)
$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1$ では接する条件 ${\mathrm{\Delta }}_C=0$ から$$b^2=a^2-1$$を得る。また $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1,b\mathrm{\ne }0$ では、先ほど見たように一次方程式となるため交点はちょうど1個である。したがって$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1,b^2=a^2-1\text{または}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1,b\mathrm{\ne }0\mathrm{.}$$双曲線 $b^2=a^2-1$ の頂点 $(\pm 1,0)$ は、どちらの条件にも含まれないことに注意する。

(3)
交点数を $N_C,N_D$ とする。境界を除く各領域では、必要な組合せは次の2つだけである。$$\begin{array}{cccc}\text{条件}& N_C& N_D& N_C+N_D\\ a^2+b^2<1& 2& 0& 2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1,b^2<a^2-1& 0& 2& 2\end{array}$$さらに $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1,b\mathrm{\ne }0$ では、$C,D$ の方程式はいずれも一次方程式となり$$N_C=N_D=1$$である。一方、$(a,b)=(\pm 1,0)$ では両方とも交点をもたない。よって求める範囲は$$a^2+b^2<1\text{または}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1,b\mathrm{\ne }0\text{または}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1,b^2<a^2-1\mathrm{.}$$以上の3つの範囲を図示すると次のようになる。青色が求める領域、青線が含む境界、破線・白丸が含まない境界である。