東北大学 2017年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$p, q$ を実数とする。関数

f (x) = x^{2} + p x + q

の $- 1 ≦ x ≦ 2$ における最小値が0以上となる点 $(p, q)$ 全体からなる領域を $D$ とする。

(1) $pq$ 平面上に領域 $D$ を図示せよ。

(2) $D$ の点 $(p, q)$ で $q ≦ 5$ を満たすもの全体のなす図形の面積を求めよ。

出典：東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

解法1

頂点の位置 $- p /2$ が区間 $[- 1, 2]$ の左・内部・右のどこにあるかで， $f (x)$ の最小値を端点値または頂点値に分ける。これにより $pq$ 平面上の下側境界を3本の式で表し，領域 $D$ はその上側になる。(2)では $q ≦ 5$ を加え，境界と直線 $q = 5$ の交点から $p$ の積分範囲を決め，縦幅を積分して面積を求める。

解法2

条件を「区間内のすべての $x$ で $q ≧ - x^{2} - p x$ 」と読み替え，右辺の最大値を求める。下側境界を上包絡線として一度に導き， $q = 5$ との間の面積を計算する。

解答

解法1

(1)

$f (x) = x^{2} + p x + q = (x + \frac{p}{2})^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}$ であり，頂点の $x$ 座標は $- p /2$ である。 $- p /2 < - 1$ ，すなわち $p > 2$ のとき，区間 $[- 1, 2]$ では $f (x)$ は増加しているので，最小値は $f (- 1) = 1 - p + q$ である。したがって $q ≧ p - 1$ である。 $- 1 ≦ - p /2 ≦ 2$ ，すなわち $- 4 ≦ p ≦ 2$ のとき，最小値は頂点値 $q - \frac{p ^{2}}{4}$ である。したがって $q ≧ p^{2} /4$ である。 $- p /2 > 2$ ，すなわち $p < - 4$ のとき，区間 $[- 1, 2]$ では $f (x)$ は減少しているので，最小値は $f (2) = 4 + 2 p + q$ である。したがって $q ≧ - 2 p - 4$ である。

以上より，領域 $D$ は

⎩ ⎨ ⎧ q ≧ - 2 p - 4 q ≧ \frac{p ^{2}}{4} q ≧ p - 1 (p < - 4), (- 4 ≦ p ≦ 2), (p > 2)

で表される下側境界の上側の領域である。境界は $p = - 4$ と $p = 2$ でつながっている。

(2)

さらに $q ≦ 5$ を満たす部分を考える。左側の直線境界では $- 2 p - 4 ≦ 5$ より $p ≧ - 9/2$ である。中央の放物線境界では，対象範囲 $- 4 ≦ p ≦ 2$ の全体で $p^{2} /4 ≦ 5$ が成り立つ。右側の直線境界では $p - 1 ≦ 5$ より $p ≦ 6$ である。

したがって求める面積は，縦幅を積分して

\int_{- 9/2}^{- 4} {5 - (- 2 p - 4)} d p + \int_{- 4}^{2} (5 - \frac{p ^{2}}{4}) d p + \int_{2}^{6} {5 - (p - 1)} d p

である。各項を計算すると $\int_{- 9/2}^{- 4} (9 + 2 p) d p = \frac{1}{4},$

\int_{- 4}^{2} (5 - \frac{p ^{2}}{4}) d p = 30 - [\frac{p ^{3}}{12}]_{- 4}^{2} = 24,

$\int_{2}^{6} (6 - p) d p = 8$ である。よって面積は $\frac{1}{4} + 24 + 8 = \frac{129}{4}$ である。

解法2

(1)

最小値が0以上であることは，すべての $x \in [- 1, 2]$ について

x^{2} + p x + q ≧ 0

が成り立つことと同値である。したがって

q ≧ - 1 ≦ x ≦ 2 max (- x^{2} - p x)

である。 $φ_{p} (x) = - x^{2} - p x$ は上に凸で，頂点は $x = - p /2$ にある。よって最大値は，頂点を区間 $[- 1, 2]$ へ収めた位置でとる。すなわち

max φ_{p} = ⎩ ⎨ ⎧ - 2 p - 4 \frac{p ^{2}}{4} p - 1 (p < - 4), (- 4 ≦ p ≦ 2), (p > 2) .

したがって $D$ はこの折れ曲がった境界の上側である。

(2)

$q ≦ 5$ も課すと， $p$ の範囲は左から $[- 9/2, - 4]$ ， $[- 4, 2]$ ， $[2, 6]$ となる。よって面積は

S = = \int_{- 9/2}^{- 4} (9 + 2 p) d p + \int_{- 4}^{2} (5 - \frac{p ^{2}}{4}) d p + \int_{2}^{6} (6 - p) d p \frac{1}{4} + 24 + 8 = \frac{129}{4} .

東北大学 2017年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2017年度
文系数学前期第2問