東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$f(x)=x^2+px+q={(x+\frac{p}{2})}^2+q-\frac{p^2}{4}$$ であり，頂点の$x$座標は$-p\mathrm{/}2$である。 $-p\mathrm{/}2<-1$，すなわち$p>2$のとき，区間$[-1,2]$では$f(x)$は増加しているので，最小値は $f(-1)=1-p+q$ である。したがって$q\geqq p-1$である。 $-1\leqq -p\mathrm{/}2\leqq 2$，すなわち$-4\leqq p\leqq 2$のとき，最小値は頂点値 $q-\frac{p^2}{4}$ である。したがって$q\geqq p^2\mathrm{/}4$である。 $-p\mathrm{/}2>2$，すなわち$p<-4$のとき，区間$[-1,2]$では$f(x)$は減少しているので，最小値は $f(2)=4+2p+q$ である。したがって$q\geqq -2p-4$である。

以上より，領域$D$は$$\{\begin{array}{ll}q\geqq -2p-4& (p<-4),\\ q\geqq {\displaystyle \frac{p^2}{4}}& (-4\leqq p\leqq 2),\\ q\geqq p-1& (p>2)\end{array}$$で表される下側境界の上側の領域である。境界は$p=-4$と$p=2$でつながっている。

(2)
さらに$q\leqq 5$を満たす部分を考える。左側の直線境界では $-2p-4\leqq 5$ より$p\geqq -9\mathrm{/}2$である。中央の放物線境界では，対象範囲$-4\leqq p\leqq 2$の全体で$p^2\mathrm{/}4\leqq 5$が成り立つ。右側の直線境界では $p-1\leqq 5$ より$p\leqq 6$である。

したがって求める面積は，縦幅を積分して$${\int }_{-9\mathrm{/}2}^{-4}\{5-(-2p-4)\}dp+{\int }_{-4}^2(5-\frac{p^2}{4})dp+{\int }_2^6\{5-(p-1)\}dp$$である。各項を計算すると $${\int }_{-9\mathrm{/}2}^{-4}(9+2p)dp=\frac{1}{4},$$ $${\int }_{-4}^2(5-\frac{p^2}{4})dp=30-{\left[\frac{p^3}{12}\right]}_{-4}^2=24,$$ ${\int }_2^6(6-p)dp=8$ である。よって面積は $$\frac{1}{4}+24+8=\frac{129}{4}$$ である。

条件を「区間内のすべての$x$で$q\geqq -x^2-px$」と読み替え，右辺の最大値を求める。下側境界を上包絡線として一度に導き，$q=5$との間の面積を計算する。

(1) 最小値が0以上であることは，すべての$x\in [-1,2]$について$$x^2+px+q\geqq 0$$が成り立つことと同値である。したがって$$q\geqq \underset{-1\leqq x\leqq 2}{\max }(-x^2-px)$$である。${\phi }_p(x)=-x^2-px$は上に凸で，頂点は$x=-p\mathrm{/}2$にある。よって最大値は，頂点を区間$[-1,2]$へ収めた位置でとる。すなわち$$\max {\phi }_p=\{\begin{array}{ll}-2p-4& (p<-4),\\ {\displaystyle \frac{p^2}{4}}& (-4\leqq p\leqq 2),\\ p-1& (p>2)\mathrm{.}\end{array}$$したがって$D$はこの折れ曲がった境界の上側である。

(2) $q\leqq 5$も課すと，$p$の範囲は左から$[-9\mathrm{/}2,-4]$，$[-4,2]$，$[2,6]$となる。よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_{-9\mathrm{/}2}^{-4}(9+2p)dp+{\int }_{-4}^2(5-\frac{p^2}{4})dp+{\int }_2^6(6-p)dp}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle \frac{1}{4}+24+8=\frac{129}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$