東北大学 2017年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

A君とB君はそれぞれ，0から5までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードが入った箱を1つもっている。2人は，自分の箱から無作為に3枚のカードを取り出して得点を競う。3枚に0が含まれない場合の得点は3数の平均値，0が含まれる場合の得点は残り2数の合計とする。

(1) A君，B君の少なくとも一方が0を取り出し，しかも双方とも得点が3点となる確率を求めよ。

(2) A君の得点が整数でなく，かつB君の得点より大きい確率を求めよ。

出典：東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

解法1

20通りの得点分布を作る。(1)は双方3点から双方0なしを引き，(2)はA君の非整数得点ごとにB君の低い得点を累積する。

解法2

分布表を使わず，得点3の手と非整数得点の手だけを直接数える。

解答

解法1

1人の取り出し方は $_{6} C_{3} = 20$ 通りである。得点別の手数は

r N (r) 21 \frac{7}{3} 1 \frac{8}{3} 2 33 \frac{10}{3} 2 \frac{11}{3} 1 425262728191

となる。

(1)

得点3の3通りのうち，0を含む手は1通り，含まない手は2通りである。よって

P = \frac{3 ^{2} - 2 ^{2}}{2 0 ^{2}} = \frac{1}{80} .

(2)

A君の非整数得点 $\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{10}{3}, \frac{11}{3}$ の手数は順に $1, 2, 2, 1$ ，それ未満となるB君の手数は順に $1, 2, 7, 9$ である。したがって

N = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 9 = 28, P = \frac{28}{2 0 ^{2}} = \frac{7}{100} .

解法2

全事象は $2 0^{2}$ 通りである。

(1)

得点3の手は ${0, 1, 2}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}$ で，0を含むのは最初だけである。よって

P = \frac{3 ^{2} - 2 ^{2}}{2 0 ^{2}} = \frac{1}{80} .

(2)

非整数得点について直接調べると

r A 君の手数 それ未満の B 君の手数 \frac{7}{3} 11 \frac{8}{3} 22 \frac{10}{3} 27 \frac{11}{3} 19

となる。したがって

N = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 9 = 28, P = \frac{N}{2 0 ^{2}} = \frac{7}{100} .

東北大学 2017年度文系数学 前期 第4問

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