問題
を3で割り切れない正の整数とする。を3で割ったときの商を，余りをとする。
(1) のとき，
を満たす負でない整数をを用いて表せ。
(2) を満たす整数に対して，
を満たす負でない整数が存在することを示せ。
出典：東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
解法1
(1)はからと書き，をの1個分と3の倍数に分ける。(2)はが3と互いに素であることを使い，のうちちょうど1つが3の倍数になることを見る。その候補が負にならないことを下限で確認する。別解として，の3連続整数を先に構成し，そこから3ずつ足す帰納的な構成も使える。
解法2
下限に並ぶ3連続整数を具体的にの形へ直す。以後の整数はこのいずれかに3の倍数を足したものなので，構成したを増やせばよい。
解答
解法1
(1)
であるから と書ける。したがって である。一方 であるから と表せる。よって である。
(2)
まずのときは，任意のについて と表せるので成り立つ。
以下，とする。は3で割り切れないので，は3を法として逆元をもち，の中から を満たすものを選べる。このについて とおけば，は整数である。残る確認は，すなわちである。 のときは明らかにである。のときも である。のときは，ならでよい。残る可能性はだけであるが，この2つについては なので，が選ばれることはない。したがって常にとなり，求める表示 が存在する。
解法2
(1)
より
である。したがってと取れる。
(2)
ならでよい。以下とする。
のときは
のときは
いずれの場合も，3連続整数は負でない整数を用いてと表せる。
任意のは，この3数のどれかにを加えた形である。対応する表示のをだけ増やせばとなるので，求めるは常に存在する。