東北大 2017年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $c = 2$ から $a = 3 b + 2$ と書き， $2 a + 1$ を $a$ の1個分と3の倍数に分ける。(2)は $a$ が3と互いに素であることを使い， $n, n - a, n - 2 a$ のうちちょうど1つが3の倍数になることを見る。その候補が負にならないことを下限 $n ≧ 2 a - 2$ で確認する。別解として， $2 a - 2, 2 a - 1, 2 a$ の3連続整数を先に構成し，そこから3ずつ足す帰納的な構成も使える。

解答

(1) $c = 2$ であるから $a = 3 b + 2$ と書ける。したがって $2 a + 1 = 2 (3 b + 2) + 1 = 6 b + 5$ である。一方 $a + 3 (b + 1) = (3 b + 2) + 3 b + 3 = 6 b + 5$ であるから $2 a + 1 = a \cdot 1 + 3 (b + 1)$ と表せる。よって $s = 1, t = b + 1$ である。

(2)
まず $a = 1$ のときは，任意の $n ≧ 0$ について $n = 1 \cdot n + 3 \cdot 0$ と表せるので成り立つ。

以下， $a ≧ 2$ とする。 $a$ は3で割り切れないので， $a$ は3を法として逆元をもち， $s = 0, 1, 2$ の中から $n - a s \equiv 0 (m o d 3)$ を満たすものを選べる。この $s$ について $t = \frac{n - a s}{3}$ とおけば， $t$ は整数である。残る確認は $t ≧ 0$ ，すなわち $n - a s ≧ 0$ である。 $s = 0$ のときは明らかに $n - a s = n ≧ 0$ である。 $s = 1$ のときも $n - a ≧ (2 a - 2) - a = a - 2 ≧ 0$ である。 $s = 2$ のときは， $n ≧ 2 a$ なら $n - 2 a ≧ 0$ でよい。残る可能性は $n = 2 a - 2, 2 a - 1$ だけであるが，この2つについては $2 a - 2 \equiv̸ 2 a (m o d 3), 2 a - 1 \equiv̸ 2 a (m o d 3)$ なので， $s = 2$ が選ばれることはない。したがって常に $t ≧ 0$ となり，求める表示 $n = a s + 3 t$ が存在する。

別解

解法2

方針

下限に並ぶ3連続整数 $2 a - 2, 2 a - 1, 2 a$ を具体的に $a s + 3 t$ の形へ直す。以後の整数はこのいずれかに3の倍数を足したものなので，構成した $t$ を増やせばよい。

解答

(1) $a = 3 b + 2$ より $2 a + 1 = a + 3 (b + 1)$ である。したがって $s = 1, t = b + 1$ と取れる。

(2) $a = 1$ なら $n = a \cdot n + 3 \cdot 0$ でよい。以下 $a ≧ 2$ とする。

$a = 3 b + 1$ のときは $2 a - 2 = 3 (2 b), 2 a - 1 = a + 3 b, 2 a = 2 a .$ $a = 3 b + 2$ のときは $2 a - 2 = a + 3 b, 2 a - 1 = 3 (2 b + 1), 2 a = 2 a .$ いずれの場合も，3連続整数 $2 a - 2, 2 a - 1, 2 a$ は負でない整数 $s, t$ を用いて $a s + 3 t$ と表せる。

任意の $n ≧ 2 a - 2$ は，この3数のどれかに $3 r (r ≧ 0)$ を加えた形である。対応する表示の $t$ を $r$ だけ増やせば $n = a s + 3 t$ となるので，求める $s, t$ は常に存在する。

総評

難度5，計算量4。目安時間は22分。剰余だけで存在を言い切ると， $t ≧ 0$ の確認が抜けやすい問題である。 $s = 0, 1, 2$ から剰余を合わせる方針は自然だが，下限付近の $n = 2 a - 2, 2 a - 1$ を個別に見るのが答案の要所になる。別解の3連続整数から出発する構成は，端点確認が見えやすく，記述量も抑えられる。

出典: 東北大学 2017年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問