東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $x+y=r$とおくと，等式は $2r+z=n$ となる。$r$が決まれば$z=n-2r$であり，$(x,y)$は $$(x,y)=(0,r),(1,r-1),\dots ,(r,0)$$ の$r+1$通りである。 $n=4$のときは$r=0,1,2$であるから $1+2+3=6$ 通りである。$n=5$のときも$r=0,1,2$であるから $1+2+3=6$ 通りである。

(2) $m=\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor$とおくと，$r$は $0,1,2,\dots ,m$ を動く。したがって総数は $$\sum _{r=0}^m(r+1)=\frac{(m+1)(m+2)}{2}$$ である。すなわち，$n=2m$または$n=2m+1$のとき，いずれも $\frac{(m+1)(m+2)}{2}$ 通りである。

(3)
(2)の結果を，右辺が$0,1,2,\dots ,n$の場合について足し上げる。 $n=2m$のとき，右辺$2r$の場合と$2r+1$の場合の個数は同じ $\frac{(r+1)(r+2)}{2}$ である。よって総数は$$\sum _{r=0}^m\frac{(r+1)(r+2)}{2}+\sum _{r=0}^{m-1}\frac{(r+1)(r+2)}{2}$$である。ここで $$\sum _{r=0}^m\frac{(r+1)(r+2)}{2}=\frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{6}$$ を用いると，総数は $\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}$ である。 $n=2m+1$のときは，$0,1$，$2,3$，$\dots$，$2m,2m+1$の各組で個数が等しいので $$2\sum _{r=0}^m\frac{(r+1)(r+2)}{2}=\frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}$$ である。

不等式には余りを表す変数$w$を加え，等式$2x+2y+z+w=n$として直接数える。$x+y=r$を固定すれば，$(x,y)$と$(z,w)$の個数の積になる。

(1) , (2) $x+y=r$とすると$z=n-2r$であり，$(x,y)$は$r+1$通りである。よって$m=\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor$として$$\sum _{r=0}^m(r+1)=\frac{(m+1)(m+2)}{2}\mathrm{.}$$特に$n=4,5$ではともに$m=2$なので6通りである。

(3) 余り$w\geqq 0$を導入すると$$2x+2y+z\leqq n⟺2x+2y+z+w=n\mathrm{.}$$$x+y=r$を固定すると，$(x,y)$は$r+1$通り，$(z,w)$は$n-2r+1$通りである。したがって総数は$$S_n=\sum _{r=0}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }(r+1)(n-2r+1)\mathrm{.}$$$n=2m$なら$$S_{2m}=\sum _{r=0}^m(r+1)(2m-2r+1)=\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}\mathrm{.}$$$n=2m+1$なら$$S_{2m+1}=2\sum _{r=0}^m(r+1)(m-r+1)=\frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}\mathrm{.}$$