東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA}=(\frac{1}{\sqrt{5}},b,c)$$ とおく。$A$は半径1の球面上にあるから$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=1$である。また平面$\alpha$は原点を通り，$\vec{a}$に垂直な平面である。

点$B$から$\alpha$へ下ろした垂線の足$D$は，$B$を$\vec{a}$方向に正射影して引いた点である。$$\overrightarrow{OB}\cdot \vec{a}=b$$だから $$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}-b\vec{a}$$ である。同様に$$\overrightarrow{OC}\cdot \vec{a}=c$$より $$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}-c\vec{a}$$ である。

したがって$$\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}=(\overrightarrow{OB}-b\vec{a})\cdot (\overrightarrow{OC}-c\vec{a})=-bc$$である。また$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OD}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}{\mathrm{\mid }}^2-b^2=1-b^2,\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}{\mathrm{\mid }}^2-c^2=1-c^2$$より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OD}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-b^2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-c^2}$$である。

(2) $A$が単位球面上にあるので $\frac{1}{5}+b^2+c^2=1$ すなわち $b^2+c^2=\frac{4}{5}$ である。また$bc<0$より$-bc>0$である。したがって$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OD}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }}=\frac{-bc}{\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}}$$である。 $u=b^2$，$v=c^2$とおくと $$u+v=\frac{4}{5},u>0,v>0$$ であり，$${\cos }^2\theta =\frac{uv}{(1-u)(1-v)}=\frac{uv}{1-(u+v)+uv}=\frac{uv}{\frac{1}{5}+uv}$$である。この式は$uv$が大きいほど大きくなる。和$u+v=4\mathrm{/}5$が一定なので，$uv$は $u=v=\frac{2}{5}$ のとき最大となる。

このとき $$\cos \theta =\frac{2\mathrm{/}5}{3\mathrm{/}5}=\frac{2}{3}$$ である。$bc<0$より$b,c$の符号は反対でなければならない。したがって最大値を与える点$A$は$$(\frac{1}{\sqrt{5}},\sqrt{\frac{2}{5}},-\sqrt{\frac{2}{5}}),(\frac{1}{\sqrt{5}},-\sqrt{\frac{2}{5}},\sqrt{\frac{2}{5}})$$であり，最大値は $\frac{2}{3}$ である。

単位法線から垂線の足を直接求める。(2)では$b^2+c^2=4\mathrm{/}5$を三角関数で表し，$\cos \theta$を$\sin 2\varphi$の増加関数へ変形する。

(1) 単位法線を$$\mathit{n}=(1\mathrm{/}\sqrt{5},b,c)$$とする。平面$\alpha$は$$\mathit{n}\cdot \mathit{x}=0$$で，$B\cdot \mathit{n}=b$，$C\cdot \mathit{n}=c$だから$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =B-b\mathit{n},}& {\displaystyle E}& {\displaystyle =C-c\mathit{n},}\\ {\displaystyle \overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}}& {\displaystyle =-bc,}& {\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{OD}\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\sqrt{1-b^2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-c^2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $b^2+c^2=4\mathrm{/}5$，$bc<0$である。一方の符号配置を$$b=\frac{2}{\sqrt{5}}\cos \varphi ,c=-\frac{2}{\sqrt{5}}\sin \varphi (0<\varphi <\pi \mathrm{/}2)$$と表し，$s=\sin 2\varphi$とおく。このとき$$-bc=\frac{2}{5}s,(1-b^2)(1-c^2)=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}{s}^2,\cos \theta =\frac{2s}{\sqrt{5+4s^2}}\mathrm{.}$$$0<s\leqq 1$で右辺は増加するから，最大は$s=1$，すなわち$b^2=c^2=2\mathrm{/}5$のときである。よって$$\max \cos \theta =\frac{2}{3},A=(\frac{1}{\sqrt{5}},\pm \sqrt{\frac{2}{5}},\mp \sqrt{\frac{2}{5}})\mathrm{.}$$