東北大学 2017年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

座標空間で，原点 $O (0, 0, 0)$ を中心とする半径1の球面上に3点

A (\frac{1}{5}, b, c), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1)

をとる。ここで $b, c$ は $b c < 0$ を満たす実数とする。原点 $O$ を通り， $O A$ に垂直な平面を $α$ とする。 $B, C$ から $α$ に下ろした垂線をそれぞれ $B D, C E$ とする。

(1) 内積 $O D \cdot O E$ と，大きさ $∣ O D ∣, ∣ O E ∣$ を $b, c$ を用いて表せ。

(2) $O D$ と $O E$ のなす角を $θ$ （ $0 ≦ θ ≦ π$ ）とする。 $cos θ$ の最大値と，最大値を与える点 $A$ の座標を求めよ。

出典：東北大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

解法1

平面 $α$ は $O A$ を法線にもつ原点通過平面である。したがって $D, E$ は $B, C$ をその法線方向に正射影した点であり， $O D = O B - (O B \cdot O A) O A$ ， $O E = O C - (O C \cdot O A) O A$ と表す。(2)は $b^{2} + c^{2} = 4/5$ と $b c < 0$ を使って $cos θ$ を $b^{2}, c^{2}$ で表し，積 $b^{2} c^{2}$ が最大のときを調べる。

解法2

単位法線から垂線の足を直接求める。(2)では $b^{2} + c^{2} = 4/5$ を三角関数で表し， $cos θ$ を $sin 2 ϕ$ の増加関数へ変形する。

解答

解法1

(1)

$a = O A = (\frac{1}{5}, b, c)$ とおく。 $A$ は半径1の球面上にあるから $∣ a ∣ = 1$ である。また平面 $α$ は原点を通り， $a$ に垂直な平面である。

点 $B$ から $α$ へ下ろした垂線の足 $D$ は， $B$ を $a$ 方向に正射影して引いた点である。 $O B \cdot a = b$ だから $O D = O B - b a$ である。同様に $O C \cdot a = c$ より $O E = O C - c a$ である。

したがって

O D \cdot O E = (O B - b a) \cdot (O C - c a) = - b c

である。また

∣ O D ∣^{2} = ∣ O B ∣^{2} - b^{2} = 1 - b^{2}, ∣ O E ∣^{2} = ∣ O C ∣^{2} - c^{2} = 1 - c^{2}

より

∣ O D ∣ = 1 - b^{2}, ∣ O E ∣ = 1 - c^{2}

である。

(2)

$A$ が単位球面上にあるので $\frac{1}{5} + b^{2} + c^{2} = 1$ すなわち $b^{2} + c^{2} = \frac{4}{5}$ である。また $b c < 0$ より $- b c > 0$ である。したがって

cos θ = \frac{O D \cdot O E}{∣ O D ∣ ∣ O E ∣} = \frac{- b c}{( 1 - b ^{2} ) ( 1 - c ^{2} )}

である。 $u = b^{2}$ ， $v = c^{2}$ とおくと $u + v = \frac{4}{5}, u > 0, v > 0$ であり，

cos^{2} θ = \frac{uv}{( 1 - u ) ( 1 - v )} = \frac{uv}{1 - ( u + v ) + uv} = \frac{uv}{\frac{1}{5} + uv}

である。この式は $uv$ が大きいほど大きくなる。和 $u + v = 4/5$ が一定なので， $uv$ は $u = v = \frac{2}{5}$ のとき最大となる。

このとき $cos θ = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$ である。 $b c < 0$ より $b, c$ の符号は反対でなければならない。したがって最大値を与える点 $A$ は

(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}), (\frac{1}{5}, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5})

であり，最大値は $\frac{2}{3}$ である。

解法2

(1)

単位法線を $n = (1/ 5, b, c)$ とする。平面 $α$ は $n \cdot x = 0$ で， $B \cdot n = b$ ， $C \cdot n = c$ だから

D O D \cdot O E = B - b n, = - b c, E ∣ O D ∣ = C - c n, = 1 - b^{2}, ∣ O E ∣ = 1 - c^{2} .

(2)

$b^{2} + c^{2} = 4/5$ ， $b c < 0$ である。一方の符号配置を

b = \frac{2}{5} cos ϕ, c = - \frac{2}{5} sin ϕ (0 < ϕ < π /2)

と表し， $s = sin 2 ϕ$ とおく。このとき

- b c = \frac{2}{5} s, (1 - b^{2}) (1 - c^{2}) = \frac{1}{5} + \frac{4}{25} s^{2}, cos θ = \frac{2 s}{5 + 4 s ^{2}} .

$0 < s ≦ 1$ で右辺は増加するから，最大は $s = 1$ ，すなわち $b^{2} = c^{2} = 2/5$ のときである。よって

max cos θ = \frac{2}{3}, A = (\frac{1}{5}, \pm \frac{2}{5}, \mp \frac{2}{5}) .

東北大学 2017年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2017年度
後期・理系数学後期第6問