東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $l,m,n$ は正の奇数なので $$l=2x-1,m=2y-1,n=2z-1$$ とおける。ただし $x,y,z$ は正の整数である。$K=99$ のとき $(2x-1)+(2y-1)+(2z-1)=99$ より $x+y+z=51$ となる。

正の整数 $x,y,z$ で $x+y+z=51$ をみたすものの個数は、$51$ 個を3つの正の部分に分ける仕切りの入れ方なので $${}_{50}{\mathrm{C}}_2=\frac{50\cdot 49}{2}=1225$$ である。したがって $N=1225$ である。

(2) $l,m,n$ の中に同じ奇数を2つ以上含むことは、$x,y,z$ の中に同じ整数を2つ以上含むことと同値である。

まず $x=y$ の場合を数える。このとき $2x+z=51$ であり、$z=51-2x$ が正の整数となるには $x=1,2,\dots ,25$ であればよい。よって $25$ 通りである。同様に、$y=z$、$z=x$ の場合もそれぞれ $25$ 通りである。

ただし、$x=y=z$ の場合は3つの集合すべてに含まれる。$x+y+z=51$ より $x=y=z=17$ の1通りである。したがって包除原理により、少なくとも2つが等しいものの個数は $25\cdot 3-3\cdot 1+1=73$ である。

(3)
一般の $K$ について $$M=\frac{K+3}{2}$$ とおく。$K$ は3より大きい奇数なので、$M$ は $4$ 以上の整数であり、$x+y+z=M$ となる。よって $$N={}_{M-1}{\mathrm{C}}_2=\frac{(M-1)(M-2)}{2}$$ である。また $K=2M-3$ である。

条件 $N>K$ は $$\frac{(M-1)(M-2)}{2}>2M-3$$ であり、整理すると $M^2-7M+8>0$ となる。$M\geqq 4$ で順に調べると、$M=4,5$ では成り立たず、$M=6$ では $36-42+8=2>0$ となって初めて成り立つ。したがって最小の $M$ は $6$ であり、$K=2M-3=9$ である。

正の奇数を直接 $l=2a+1$、$m=2b+1$、$n=2c+1$ と表し、非負整数の和として数える。(2) は重なる値を先に決め、3数がすべて等しい場合だけ並べ方が1通りになることを分離する。(3) は $N=(K^2-1)\mathrm{/}8$ を直接 $K$ と比較する。

(1)
正の奇数を$$l=2a+1,m=2b+1,n=2c+1$$と表す。ただし $a,b,c$ は非負整数である。$K=99$ のとき$$a+b+c=\frac{99-3}{2}=48$$だから、仕切りを2本入れる数え方により$$N={}_{50}{\mathrm{C}}_2=1225$$である。

(2)
たとえば $l=m=r$ とすると、残りは $n=99-2r$ である。これが正の奇数となるのは$$r=1,3,\dots ,49$$の25通りである。このうち $r=33$ のときだけ $n=r$ となり、3数がすべて等しい。

$r\mathrm{\ne }33$ の24通りでは、異なる1数を置く位置が3通りある。一方、$(33,33,33)$ は1通りだけである。したがって$$24\cdot 3+1=73$$通りである。この数え方なら、全要素が等しい組を3回数える重複を初めから避けられる。

(3)
一般の奇数 $K>3$ に対し$$a+b+c=\frac{K-3}{2}$$であるから$$N={}_{(K+1)\mathrm{/}2}{\mathrm{C}}_2=\frac{K^2-1}{8}\mathrm{.}$$よって$$N>K⟺K^2-8K-1>0.$$左辺は $K\geqq 4$ で単調に増加し、$K=7$ では $-8<0$、$K=9$ では $8>0$ である。したがって条件を満たす最小の奇数は$$K=9$$である。