東北大学 2018年度
文系数学 前期 第1問

解答

解法1

(1)

2つの放物線の交点の $x$ 座標は $(x-a{)}^2+b=-x^2$ を満たす。整理すると $2x^2-2ax+a^2+b=0$ である。この2解を $u,v$ とする。異なる2点で交わるので $u\ne v$ であり、条件は $|u-v|=1$ である。

解と係数の関係より $u+v=a,uv=\frac{a^2+b}{2}$ である。したがって $(u-v{)}^2=(u+v{)}^2-4uv=a^2-2(a^2+b)=-a^2-2b$ である。これが1に等しいから $-a^2-2b=1$ すなわち $b=-\frac{a^2+1}{2}$ である。

よって頂点 $(a,b)$ の軌跡は $y=-\frac{x^2+1}{2}$ である。これは下に開く放物線全体である。任意の実数 $a$ に対して上の $b$ を取れば $(u-v{)}^2=1$ となるので、除く点はない。

(2)

2交点の $x$ 座標を $u,v$ とする。(1)より $u+v=a,uv=\frac{a^2-1}{4}$ である。2交点は放物線 $D:y=-x^2$ 上にあるから、座標は $(u,-u^2),(v,-v^2)$ である。これらを結ぶ直線の傾きは $\frac{-u^2+v^2}{u-v}=-(u+v)=-a$ である。したがって直線は $y=-ax+c$ と書ける。点 $(u,-u^2)$ を代入すると $c=-u^2+au=-u^2+(u+v)u=uv=\frac{a^2-1}{4}$ である。よって2交点を結ぶ直線は $y=-ax+\frac{a^2-1}{4}$ である。

一方、放物線 $y=-x^2-\frac{1}{4}$ の $x=\frac{a}{2}$ における接線を求める。接点の $y$ 座標は $-\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}$ であり、傾きは $-a$ である。したがって接線は $y=-a\left(x-\frac{a}{2}\right)-\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}=-ax+\frac{a^2-1}{4}$ である。これは上で得た直線と一致する。よって、2交点を結ぶ直線は放物線 $y=-x^2-\frac{1}{4}$ に接する。

解法2（2根の中点を置く）

2交点の $x$ 座標を

とおく。交点方程式

の解と係数を比較すると

$m=a/2$ を代入して

を得る。したがって頂点の軌跡は

の全体である。

放物線 $D$ 上の2点 $(u,-u^2),(v,-v^2)$ を結ぶ直線は

一方、$y=-x^2-1/4$ の $x=a/2$ における接線も

であり、両者は一致する。