東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
2つの放物線の交点の $x$ 座標は $(x-a{)}^2+b=-x^2$ を満たす。整理すると $2x^2-2ax+a^2+b=0$ である。この2解を $u,v$ とする。異なる2点で交わるので $u\mathrm{\ne }v$ であり、条件は $\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }=1$ である。

解と係数の関係より $$u+v=a,uv=\frac{a^2+b}{2}$$ である。したがって $$(u-v{)}^2=(u+v{)}^2-4uv=a^2-2(a^2+b)=-a^2-2b$$ である。これが1に等しいから $-a^2-2b=1$ すなわち $$b=-\frac{a^2+1}{2}$$ である。

よって頂点 $(a,b)$ の軌跡は $$y=-\frac{x^2+1}{2}$$ である。これは下に開く放物線全体である。任意の実数 $a$ に対して上の $b$ を取れば $(u-v{)}^2=1$ となるので、除く点はない。

(2)
2交点の $x$ 座標を $u,v$ とする。(1)より $$u+v=a,uv=\frac{a^2-1}{4}$$ である。2交点は放物線 $D:y=-x^2$ 上にあるから、座標は $(u,-u^2),(v,-v^2)$ である。これらを結ぶ直線の傾きは $$\frac{-u^2+v^2}{u-v}=-(u+v)=-a$$ である。したがって直線は $y=-ax+c$ と書ける。点 $(u,-u^2)$ を代入すると $$c=-u^2+au=-u^2+(u+v)u=uv=\frac{a^2-1}{4}$$ である。よって2交点を結ぶ直線は $$y=-ax+\frac{a^2-1}{4}$$ である。

一方、放物線 $y=-x^2-\frac{1}{4}$ の $$x=\frac{a}{2}$$ における接線を求める。接点の $y$ 座標は $-\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}$ であり、傾きは $-a$ である。したがって接線は $$y=-a(x-\frac{a}{2})-\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}=-ax+\frac{a^2-1}{4}$$ である。これは上で得た直線と一致する。よって、2交点を結ぶ直線は放物線 $y=-x^2-\frac{1}{4}$ に接する。

2交点の $x$ 座標の差が1なので、これらを $m-1\mathrm{/}2,m+1\mathrm{/}2$ と対称に置く。和と積を交点方程式の係数と比較すれば、軌跡と共通弦の式が同時に求まる。

2交点の $x$ 座標を$$u=m-\frac{1}{2},v=m+\frac{1}{2}$$とおく。交点方程式$$2x^2-2ax+a^2+b=0$$の解と係数を比較すると$$u+v=2m=a,uv=m^2-\frac{1}{4}=\frac{a^2+b}{2}\mathrm{.}$$$m=a\mathrm{/}2$ を代入して$$b=-\frac{a^2+1}{2}$$を得る。したがって頂点の軌跡は$$y=-\frac{x^2+1}{2}$$の全体である。

放物線 $D$ 上の2点 $(u,-u^2),(v,-v^2)$ を結ぶ直線は$$y=-(u+v)x+uv=-ax+\frac{a^2-1}{4}\mathrm{.}$$一方、$y=-x^2-1\mathrm{/}4$ の $x=a\mathrm{/}2$ における接線も$$y=-ax+\frac{a^2-1}{4}$$であり、両者は一致する。