東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
1回目の試行で、それまでに取り出した札の和が初めて $n$ 以上になるには、1回目に $n$ の札を取り出すしかない。よって $p(1)=\frac{1}{n}$ である。

次に $p(n)$ を求める。$n$ 回目ではじめて和が $n$ 以上になるには、$n-1$ 回目までの和が $n$ 未満でなければならない。各回で取り出す数は1以上だから、$n-1$ 回の和の最小値は $1+1+\cdots +1=n-1$ である。したがって $n-1$ 回目までの和を $n$ 未満にするには、最初の $n-1$ 回がすべて1であるしかない。このとき $n$ 回目にはどの札を引いても和は $n$ 以上になる。よって $$p(n)={\left(\frac{1}{n}\right)}^{n-1}$$ である。

(2)
1回目に $i$ を取り出したとする。2回目ではじめて和が $n$ 以上になるためには $1\leqq i\leqq n-1$ であり、2回目に取り出す数は $n-i,n-i+1,\dots ,n$ のいずれかであればよい。この個数は $i+1$ 個である。したがって有利な順序つきの出方の数は $$\sum _{i=1}^{n-1}(i+1)=\frac{(n-1)(n+2)}{2}$$ である。全事象は $n^2$ 通りなので $$p(2)=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2}$$ である。

(3) $n-1$ 回目ではじめて和が $n$ 以上になるには、$n-2$ 回目までの和が $n$ 未満でなければならない。$n-2$ 回の和の最小値は $n-2$ であるから、和が $n$ 未満になる可能性は次の2通りだけである。

まず、最初の $n-2$ 回がすべて1の場合である。このとき和は $n-2$ なので、最後の $n-1$ 回目には2以上の札を引けばよい。その選び方は $n-1$ 通りである。

次に、最初の $n-2$ 回のうち1回だけ2が出て、残りがすべて1の場合である。このとき和は $n-1$ であり、最後はどの札でもよい。2が出る位置は $n-2$ 通り、最後の札は $n$ 通りであるから $n(n-2)$ 通りである。

よって有利な順序つきの出方は $(n-1)+n(n-2)=n^2-n-1$ 通りである。全事象は $n^{n-1}$ 通りなので $$p(n-1)=\frac{n^2-n-1}{n^{n-1}}$$ である。

正の整数列 $(X_1,\dots ,X_a)$ を考え、直前の部分和 $T=X_1+\cdots +X_{a-1}$ が $n$ 未満で、最後の札が $n-T$ 以上という条件に直す。端の回数では $T$ の候補がごく少数になる。

各出方を $(X_1,\dots ,X_a)\in \{1,\dots ,n{\}}^a$ とする。

(1)
1回で到達するのは $X_1=n$ の1通りなので$$p(1)=\frac{1}{n}\mathrm{.}$$$n$ 回目で初めて到達するには、最初の $n-1$ 回がすべて1でなければならず、最後は任意でよい。よって$$p(n)=\frac{n}{n^n}=\frac{1}{n^{n-1}}\mathrm{.}$$(2)
$X_1=i<n$ のとき、$X_2\geqq n-i$ は $i+1$ 通りである。したがって$$p(2)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n-1}(i+1)=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2}\mathrm{.}$$(3)
最初の $n-2$ 回の和は少なくとも $n-2$ で、$n$ 未満だから $n-2$ または $n-1$ だけである。前者は全て1で最後が2以上の $n-1$ 通り、後者は2が1回だけで最後が任意の $n(n-2)$ 通りである。ゆえに$$p(n-1)=\frac{(n-1)+n(n-2)}{n^{n-1}}=\frac{n^2-n-1}{n^{n-1}}\mathrm{.}$$