東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

直線と放物線の交点では $ax=x^2+a$ が成り立つ。したがって交点の $x$ 座標は $x^2-ax+a=0$ の解である。2つの交点の $x$ 座標が $b,c$ なので、解と係数の関係より $b+c=a,bc=a$ である。

条件 $c=b^2$ を用いると $a=b+c=b+b^2$ であり、また $a=bc=b\cdot b^2=b^3$ である。よって $b+b^2=b^3$ すなわち $b(b^2-b-1)=0$ である。条件 $b<0$ より $b=0$ は不適であり、$b^2-b-1=0$ の負の解を取ればよい。したがって $$b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ である。

このとき $$a=b^3=b(b^2)=b(b+1)=b^2+b=(b+1)+b=2b+1$$ であるから $a=2-\sqrt{5}$ である。

$x=b$ と $x=c=b^2$ がともに交点であることを、それぞれ直線と放物線の式へ直接代入する。得られた2通りの $a$ を比較して $b$ だけの方程式にする。

点 $P$ が両曲線上にあるから$$ab=b^2+a,a=\frac{b^2}{b-1}\mathrm{.}$$ここで $b<0$ なので $b-1\mathrm{\ne }0$ である。

また $c=b^2$ であり、点 $Q$ も両曲線上にあるから$$a{b}^2=b^4+a,a=\frac{b^4}{b^2-1}\mathrm{.}$$$b=-1$ は最初の式を満たさないので $b^2-1\mathrm{\ne }0$ としてよい。2つの $a$ を等置すると$$\frac{b^2}{b-1}=\frac{b^4}{(b-1)(b+1)}\mathrm{.}$$$b\mathrm{\ne }0$ を用いて整理すれば$$b^2=b+1.$$したがって$$b=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$条件 $b<0$ から$$b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$さらに $a=b+b^2=2b+1$ だから$$a=2-\sqrt{5}\mathrm{.}$$このとき $a\mathrm{\ne }0$ であり、2つの交点も相異なる。