東北大学 2019年度
文系数学 前期 第1問

解答

解法1（解と係数の関係を使う）

直線と放物線の交点では $ax=x^2+a$ が成り立つ。したがって交点の $x$ 座標は $x^2-ax+a=0$ の解である。2つの交点の $x$ 座標が $b,c$ なので、解と係数の関係より $b+c=a,bc=a$ である。

条件 $c=b^2$ を用いると $a=b+c=b+b^2$ であり、また $a=bc=b\cdot b^2=b^3$ である。よって $b+b^2=b^3$ すなわち $b(b^2-b-1)=0$ である。条件 $b<0$ より $b=0$ は不適であり、$b^2-b-1=0$ の負の解を取ればよい。したがって $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ である。

このとき $a=b^3=b(b^2)=b(b+1)=b^2+b=(b+1)+b=2b+1$ であるから $a=2-\sqrt{5}$ である。

解法2（2つの接点条件を直接消去する）

点 $P$ が両曲線上にあるから

ここで $b<0$ なので $b-1\ne 0$ である。

また $c=b^2$ であり、点 $Q$ も両曲線上にあるから

$b=-1$ は最初の式を満たさないので $b^2-1\ne 0$ としてよい。2つの $a$ を等置すると

$b\ne 0$ を用いて整理すれば

したがって

条件 $b<0$ から

さらに $a=b+b^2=2b+1$ だから

このとき $a\ne 0$ であり、2つの交点も相異なる。