東北大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $a_1=1$、$a_2=3$ はともに正である。いま $a_n>0$、$a_{n+1}>0$ と仮定すると、漸化式より $$a_{n+2}=\frac{2a_{n+1}^2}{a_n}>0$$ である。したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $a_n>0$ である。

(2)
(1)より $a_n>0$ なので $$r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ とおける。与えられた漸化式 $a_{n+2}{a}_n=2a_{n+1}^2$ の両辺を $a_{n+1}{a}_n$ で割ると $$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=2\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ である。すなわち $r_{n+1}=2r_n$ である。

初期値は $$r_1=\frac{a_2}{a_1}=3$$ なので $r_n=3\cdot 2^{n-1}$ である。したがって $n\geqq 2$ で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =a_1{r}_1{r}_2\cdots r_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^{n-1}\cdot 2^{0+1+\cdots +(n-2)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^{n-1}{2}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\end{array}$$となる。$n=1$ でも右辺は1となるから、一般に $$a_n=3^{n-1}{2}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}$$ である。

(1) で正性を確保した後、$b_n={\log }_2{a}_n$ とおく。積の漸化式を加法の漸化式へ変え、階差 $d_n=b_{n+1}-b_n$ が等差数列になることを使う。

(1)
$a_1=1>0,a_2=3>0$ である。また $a_n>0,a_{n+1}>0$ なら$$a_{n+2}=\frac{2a_{n+1}^2}{a_n}>0.$$したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で $a_n>0$ である。

(2)
正性より$$b_n={\log }_2{a}_n$$とおける。漸化式の対数を取ると$$b_{n+2}+b_n=1+2b_{n+1}\mathrm{.}$$ここで $d_n=b_{n+1}-b_n$ とおけば$$d_{n+1}=d_n+1.$$また$$d_1=b_2-b_1={\log }_{2}3$$だから$$d_n={\log }_{2}3+n-1.$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =b_1+\sum _{k=1}^{n-1}{d}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1){\log }_{2}3+\frac{(n-1)(n-2)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$a_n=2^{b_n}=3^{n-1}{2}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm{.}$$