東北大学 2019年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次の漸化式によって定める。

a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} a_{n} = 2 a_{n + 1}^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)

(1) すべての正の整数 $n$ について， $a_{n}$ は正であることを示せ。

(2) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

解法1（隣り合う項の比を取る）

まず初期値が正であることと、 $a_{n}, a_{n + 1}$ が正なら漸化式から $a_{n + 2}$ も正になることを帰納法で示す。正性が分かれば比 $r_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ を定義でき、与えられた漸化式は $r_{n + 1} = 2 r_{n}$ という等比数列に変わる。最後に $a_{n} = a_{1} r_{1} r_{2} \dots r_{n - 1}$ と積を計算する。

解法2（対数を取って階差数列にする）

(1)で正性を確保した後、 $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおく。積の漸化式を加法の漸化式へ変え、階差 $d_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ が等差数列になることを使う。

解答

解法1（隣り合う項の比を取る）

(1)

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 3$ はともに正である。いま $a_{n} > 0$ 、 $a_{n + 1} > 0$ と仮定すると、漸化式より $a_{n + 2} = \frac{2 a _{n + 1}^{2}}{a _{n}} > 0$ である。したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $a_{n} > 0$ である。

(2)

(1)より $a_{n} > 0$ なので $r_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ とおける。与えられた漸化式 $a_{n + 2} a_{n} = 2 a_{n + 1}^{2}$ の両辺を $a_{n + 1} a_{n}$ で割ると $\frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} = 2 \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ である。すなわち $r_{n + 1} = 2 r_{n}$ である。

初期値は $r_{1} = \frac{a _{2}}{a _{1}} = 3$ なので $r_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ である。したがって $n ≧ 2$ で

a_{n} = a_{1} r_{1} r_{2} \dots r_{n - 1} = 3^{n - 1} \cdot 2^{0 + 1 + \dots + (n - 2)} = 3^{n - 1} 2^{\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}}

となる。 $n = 1$ でも右辺は1となるから、一般に $a_{n} = 3^{n - 1} 2^{\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}}$ である。

解法2（対数を取って階差数列にする）

(1)

$a_{1} = 1 > 0, a_{2} = 3 > 0$ である。また $a_{n} > 0, a_{n + 1} > 0$ なら

a_{n + 2} = \frac{2 a _{n + 1}^{2}}{a _{n}} > 0.

したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で $a_{n} > 0$ である。

(2)

正性より

b_{n} = lo g_{2} a_{n}

とおける。漸化式の対数を取ると

b_{n + 2} + b_{n} = 1 + 2 b_{n + 1} .

ここで $d_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ とおけば

d_{n + 1} = d_{n} + 1.

また

d_{1} = b_{2} - b_{1} = lo g_{2} 3

だから

d_{n} = lo g_{2} 3 + n - 1.

よって

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 d_{k} = (n - 1) lo g_{2} 3 + \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2} .

したがって

a_{n} = 2^{b_{n}} = 3^{n - 1} 2^{\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}} .

東北大学 2019年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1（隣り合う項の比を取る）

解法2（対数を取って階差数列にする）

解答

解法1（隣り合う項の比を取る）

(1)

(2)

解法2（対数を取って階差数列にする）

(1)

(2)

東北大学 2019年度
文系数学前期第3問