東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$x^2-ax=x(x-a)$ であり、符号は $a$ の位置によって変わる。

$a\leqq 0$ の場合$${\int }_0^1\mathrm{\mid }{x}^2-ax\mathrm{\mid }dx={\int }_0^1(x^2-ax)dx=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}3$ に等しいので $a=0$ である。

$0\leqq a\leqq 1$ の場合$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{\mid }{x}^2-ax\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle ={\int }_0^a(ax-x^2)dx+{\int }_a^1(x^2-ax)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$これが $1\mathrm{/}3$ に等しい条件は$$a(2a^2-3)=0.$$範囲内で残るのは $a=0$ だけである。

$a\geqq 1$ の場合$${\int }_0^1\mathrm{\mid }{x}^2-ax\mathrm{\mid }dx={\int }_0^1(ax-x^2)dx=\frac{a}{2}-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}3$ に等しいので $a=4\mathrm{/}3$ である。したがって$$a=0,\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

積分を$$I(a)={\int }_0^{1}x\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }dx$$と見る。$a<0$ と $0<a\leqq 1$ では $I(0)=1\mathrm{/}3$ との大小を先に判定し、残る $a\geqq 1$ だけを計算する。

求める積分を$$I(a)={\int }_0^{1}x\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }dx$$とおく。

まず $a<0$ なら、$0<x\leqq 1$ で $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=x-a>x$ だから$$I(a)>{\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$$a=0$ では等号が成り立つ。

次に $0<a\leqq 1$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{a}x(a-x)dx+{\int }_a^{1}x(x-a)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $0<a\leqq 1$ なら $a^3\mathrm{/}3\leqq a\mathrm{/}3<a\mathrm{/}2$ なので$$I(a)<\frac{1}{3}\mathrm{.}$$したがってこの範囲に解はない。

最後に $a\geqq 1$ なら$$I(a)={\int }_0^{1}x(a-x)dx=\frac{a}{2}-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}3$ に等しい条件は$$a=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$ゆえに$$a=0,\frac{4}{3}$$である。