東北大学 2019年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

次の等式を満たす実数 $a$ をすべて求めよ。

\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \frac{1}{3}

出典：東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

解法1（絶対値の符号で3つに分ける）

$x^{2} - a x = x (x - a)$ の符号が変わる位置によって、 $a ≦ 0$ 、 $0 ≦ a ≦ 1$ 、 $a ≧ 1$ の3つに分ける。それぞれ絶対値を外して積分し、得られた方程式をその場合の範囲条件と照合する。境界 $a = 0, 1$ は重複してよいが、最後に解として残るかを確認する。

解法2（基準値との大小で候補を絞る）

積分を

I (a) = \int_{0}^{1} x ∣ x - a ∣ d x

と見る。 $a < 0$ と $0 < a ≦ 1$ では $I (0) = 1/3$ との大小を先に判定し、残る $a ≧ 1$ だけを計算する。

解答

解法1（絶対値の符号で3つに分ける）

$x^{2} - a x = x (x - a)$ であり、符号は $a$ の位置によって変わる。

$a ≦ 0$ の場合

\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \int_{0}^{1} (x^{2} - a x) d x = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} .

これが $1/3$ に等しいので $a = 0$ である。

$0 ≦ a ≦ 1$ の場合

\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x + \int_{a}^{1} (x^{2} - a x) d x = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a ^{3}}{3} .

これが $1/3$ に等しい条件は

a (2 a^{2} - 3) = 0.

範囲内で残るのは $a = 0$ だけである。

$a ≧ 1$ の場合

\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \int_{0}^{1} (a x - x^{2}) d x = \frac{a}{2} - \frac{1}{3} .

これが $1/3$ に等しいので $a = 4/3$ である。したがって

a = 0, \frac{4}{3} .

解法2（基準値との大小で候補を絞る）

求める積分を

I (a) = \int_{0}^{1} x ∣ x - a ∣ d x

とおく。

まず $a < 0$ なら、 $0 < x ≦ 1$ で $∣ x - a ∣ = x - a > x$ だから

I (a) > \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} .

$a = 0$ では等号が成り立つ。

次に $0 < a ≦ 1$ では

I (a) = \int_{0}^{a} x (a - x) d x + \int_{a}^{1} x (x - a) d x = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a ^{3}}{3} .

ここで $0 < a ≦ 1$ なら $a^{3} /3 ≦ a /3 < a /2$ なので

I (a) < \frac{1}{3} .

したがってこの範囲に解はない。

最後に $a ≧ 1$ なら

I (a) = \int_{0}^{1} x (a - x) d x = \frac{a}{2} - \frac{1}{3} .

これが $1/3$ に等しい条件は

a = \frac{4}{3} .

ゆえに

a = 0, \frac{4}{3}

である。

東北大学 2019年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解法1（絶対値の符号で3つに分ける）

解法2（基準値との大小で候補を絞る）

解答

解法1（絶対値の符号で3つに分ける）

a≦0 の場合

0≦a≦1 の場合

a≧1 の場合

解法2（基準値との大小で候補を絞る）

東北大学 2019年度
後期・文系数学後期第1問

$a ≦ 0$ の場合

$0 ≦ a ≦ 1$ の場合

$a ≧ 1$ の場合