東北大学 2019年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，放物線 $C : y = - \frac{1}{2} x^{2}$ の2つの接線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ が点 $P$ において直交するとする。ただし， $l_{1}$ の傾きは $l_{2}$ の傾きより大きいとする。

(1) 点 $P$ の $x$ 座標を $a$ とするとき，接線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ の傾きをそれぞれ求めよ。

(2) 放物線 $C$ と接線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ の接点をそれぞれ $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ とする。 $△ P Q_{1} Q_{2}$ の面積が8となるような点 $P$ の座標をすべて求めよ。

出典：東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

解法1（接点の座標を文字で置く）

放物線 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x = u$ における接線をパラメータ表示する。2接線の接点を $u, v$ とすると、直交条件は $uv = - 1$ 、交点の $x$ 座標は $a = \frac{u + v}{2}$ になる。面積は、接線2本の交点 $P$ と接点 $Q_{1}, Q_{2}$ の座標を $u, v$ で表して行列式で求め、 $uv = - 1$ を用いて $(a^{2} + 1)^{3/2}$ に整理する。

解法2（接線の傾きを直接変数にする）

傾き $m$ の接線は接点 $x = - m$ をもち、式は $y = m x + m^{2} /2$ となる。2つの傾きの積と和を交点の座標から求め、面積をその2根の差で表す。

解答

解法1（接点の座標を文字で置く）

(1)

放物線 $C : y = - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x = u$ における接線を求める。導関数は $y^{'} = - x$ なので、傾きは $- u$ である。接点は $(u, - \frac{1}{2} u^{2})$ だから、接線は $y = - u (x - u) - \frac{1}{2} u^{2} = - ux + \frac{1}{2} u^{2}$ である。

2つの接点の $x$ 座標を $u, v$ とする。2接線が直交するので、傾きの積から $(- u) (- v) = uv = - 1$ である。また2接線の交点の $x$ 座標を $a$ とすると $- u a + \frac{1}{2} u^{2} = - v a + \frac{1}{2} v^{2}$ より $a = \frac{u + v}{2}$ である。したがって $u, v$ は $X^{2} - 2 a X - 1 = 0$ の2解であり、 $u = a - a^{2} + 1, v = a + a^{2} + 1$ である。接線の傾きはそれぞれ $- u, - v$ である。 $l_{1}$ の傾きが $l_{2}$ の傾きより大きいので $l_{1}, l_{2}$ の傾きはそれぞれ $- a + a^{2} + 1, - a - a^{2} + 1$ である。

(2)

交点 $P$ の $y$ 座標を求める。 $a = \frac{u + v}{2}$ を接線 $y = - ux + \frac{1}{2} u^{2}$ に代入すると $y = - u \frac{u + v}{2} + \frac{1}{2} u^{2} = - \frac{uv}{2} = \frac{1}{2}$ である。したがって $P = (a, \frac{1}{2})$ である。

接点は $Q_{1} = (u, - \frac{1}{2} u^{2}), Q_{2} = (v, - \frac{1}{2} v^{2})$ である。三角形の面積を行列式で求めると

[△ P Q_{1} Q_{2}] = \frac{1}{2} det (u - a v - a - \frac{1}{2} u^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} v^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{8} ∣ v - u ∣^{3}

である。ここで $v - u = 2 a^{2} + 1$ だから $[△ P Q_{1} Q_{2}] = (a^{2} + 1)^{3/2}$ である。

これが8に等しいので $(a^{2} + 1)^{3/2} = 8$ であり、 $a^{2} + 1 = 4$ となる。したがって $a = \pm 3$ である。よって求める点 $P$ は $P = (3, \frac{1}{2}), (- 3, \frac{1}{2})$ である。

解法2（接線の傾きを直接変数にする）

(1)

傾き $m$ の接線の接点は $x = - m$ であり、接線は

y = m x + \frac{m ^{2}}{2}

である。2本の傾きを $m_{1} > m_{2}$ とする。直交条件から

m_{1} m_{2} = - 1.

また交点の $x$ 座標が $a$ なので

m_{1} a + \frac{m _{1}^{2}}{2} = m_{2} a + \frac{m _{2}^{2}}{2},

よって

m_{1} + m_{2} = - 2 a .

したがって $m_{1}, m_{2}$ は

m^{2} + 2 am - 1 = 0

の2解であり、

m_{1} = - a + a^{2} + 1, m_{2} = - a - a^{2} + 1 .

(2)

接点は

Q_{i} = (- m_{i}, - \frac{m _{i}^{2}}{2})

である。交点の $y$ 座標は

m_{1} a + \frac{m _{1}^{2}}{2} = - \frac{m _{1} m _{2}}{2} = \frac{1}{2}

だから $P = (a, 1/2)$ である。

座標の行列式を計算すると

[△ P Q_{1} Q_{2}] = \frac{1}{8} ∣ m_{1} - m_{2} ∣^{3} .

ここで

∣ m_{1} - m_{2} ∣ = 2 a^{2} + 1

であるから

[△ P Q_{1} Q_{2}] = (a^{2} + 1)^{3/2} .

これが8となる条件は $a^{2} + 1 = 4$ 、すなわち $a = \pm 3$ である。したがって

P = (3, \frac{1}{2}), P = (- 3, \frac{1}{2}) .

東北大学 2019年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1（接点の座標を文字で置く）

解法2（接線の傾きを直接変数にする）

解答

解法1（接点の座標を文字で置く）

(1)

(2)

解法2（接線の傾きを直接変数にする）

(1)

(2)

東北大学 2019年度
後期・文系数学後期第2問