東北大 2019年度文系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

放物線 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x = u$ における接線をパラメータ表示する。2接線の接点を $u, v$ とすると、直交条件は $u v = - 1$ 、交点の $x$ 座標は $a = \frac{u + v}{2}$ になる。面積は、接線2本の交点 $P$ と接点 $Q_{1}, Q_{2}$ の座標を $u, v$ で表して行列式で求め、 $u v = - 1$ を用いて $(a^{2} + 1)^{3 / 2}$ に整理する。

解答

(1)
放物線 $C : y = - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x = u$ における接線を求める。導関数は $y^{'} = - x$ なので、傾きは $- u$ である。接点は $(u, - \frac{1}{2} u^{2})$ だから、接線は $y = - u (x - u) - \frac{1}{2} u^{2} = - u x + \frac{1}{2} u^{2}$ である。

2つの接点の $x$ 座標を $u, v$ とする。2接線が直交するので、傾きの積から $(- u) (- v) = u v = - 1$ である。また2接線の交点の $x$ 座標を $a$ とすると $- u a + \frac{1}{2} u^{2} = - v a + \frac{1}{2} v^{2}$ より $a = \frac{u + v}{2}$ である。したがって $u, v$ は $X^{2} - 2 a X - 1 = 0$ の2解であり、 $u = a - \sqrt{a^{2} + 1}, v = a + \sqrt{a^{2} + 1}$ である。接線の傾きはそれぞれ $- u, - v$ である。 $l_{1}$ の傾きが $l_{2}$ の傾きより大きいので $l_{1}, l_{2}$ の傾きはそれぞれ $- a + \sqrt{a^{2} + 1}, - a - \sqrt{a^{2} + 1}$ である。

(2)
交点 $P$ の $y$ 座標を求める。 $a = \frac{u + v}{2}$ を接線 $y = - u x + \frac{1}{2} u^{2}$ に代入すると $y = - u \frac{u + v}{2} + \frac{1}{2} u^{2} = - \frac{u v}{2} = \frac{1}{2}$ である。したがって $P = (a, \frac{1}{2})$ である。

接点は $Q_{1} = (u, - \frac{1}{2} u^{2}), Q_{2} = (v, - \frac{1}{2} v^{2})$ である。三角形の面積を行列式で求めると $\begin{aligned} [△ P Q_{1} Q_{2}] & = \frac{1}{2} ∣ \det (\begin{array}{cc} u - a & - \frac{1}{2} u^{2} - \frac{1}{2} \\ v - a & - \frac{1}{2} v^{2} - \frac{1}{2} \end{array}) ∣ \\ = \frac{1}{8} ∣ v - u ∣^{3} \end{aligned}$ である。ここで $v - u = 2 \sqrt{a^{2} + 1}$ だから $[△ P Q_{1} Q_{2}] = (a^{2} + 1)^{3 / 2}$ である。

これが8に等しいので $(a^{2} + 1)^{3 / 2} = 8$ であり、 $a^{2} + 1 = 4$ となる。したがって $a = \pm \sqrt{3}$ である。よって求める点 $P$ は $P = (\sqrt{3}, \frac{1}{2}), (- \sqrt{3}, \frac{1}{2})$ である。

別解

解法2（接線の傾きを直接変数にする）

方針

傾き $m$ の接線は接点 $x = - m$ をもち、式は $y = m x + m^{2} / 2$ となる。2つの傾きの積と和を交点の座標から求め、面積をその2根の差で表す。

解答

(1)
傾き $m$ の接線の接点は $x = - m$ であり、接線は $y = m x + \frac{m^{2}}{2}$ である。2本の傾きを $m_{1} > m_{2}$ とする。直交条件から $m_{1} m_{2} = - 1.$ また交点の $x$ 座標が $a$ なので $m_{1} a + \frac{m_{1}^{2}}{2} = m_{2} a + \frac{m_{2}^{2}}{2},$ よって $m_{1} + m_{2} = - 2 a .$ したがって $m_{1}, m_{2}$ は $m^{2} + 2 a m - 1 = 0$ の2解であり、 $m_{1} = - a + \sqrt{a^{2} + 1}, m_{2} = - a - \sqrt{a^{2} + 1} .$ (2)
接点は $Q_{i} = (- m_{i}, - \frac{m_{i}^{2}}{2})$ である。交点の $y$ 座標は $m_{1} a + \frac{m_{1}^{2}}{2} = - \frac{m_{1} m_{2}}{2} = \frac{1}{2}$ だから $P = (a, 1 / 2)$ である。

座標の行列式を計算すると $[△ P Q_{1} Q_{2}] = \frac{1}{8} ∣ m_{1} - m_{2} ∣^{3} .$ ここで $∣ m_{1} - m_{2} ∣ = 2 \sqrt{a^{2} + 1}$ であるから $[△ P Q_{1} Q_{2}] = (a^{2} + 1)^{3 / 2} .$ これが8となる条件は $a^{2} + 1 = 4$ 、すなわち $a = \pm \sqrt{3}$ である。したがって $P = (\sqrt{3}, \frac{1}{2}), P = (- \sqrt{3}, \frac{1}{2}) .$

総評

難度5、目安時間18分。接線を接点の $x$ 座標で表すと、直交条件と交点座標がきれいに整理される。 $u v = - 1$ と $a = \frac{u + v}{2}$ から2接点を決める流れが中心である。面積計算は省略されがちだが、 $P$ の $y$ 座標が常に $\frac{1}{2}$ になること、面積が $\frac{1}{4} ∣ v - u ∣^{3}$ になることを示すと、最後の最大計算が明確になる。

出典: 東北大学 2019年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第2問