東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
4人乗りの車に乗る人の集合を決めれば、残りは5人乗りの車に乗る。座席の位置や運転者は区別しないので、同じ集合分けを二度数えないように、4人乗りの人数だけで場合分けする。

全員が2台に分乗するから、4人乗りの車に乗る人数を $m$ とすると、5人乗りの車には $7-m$ 人が乗る。定員条件より $$0\leqq m\leqq 4,0\leqq 7-m\leqq 5$$ であるから、$m=2,3,4$ である。したがって分乗の組合せは$${}_7{\mathrm{C}}_2+{}_7{\mathrm{C}}_3+{}_7{\mathrm{C}}_4=21+35+35=91$$通りである。

(2)
まず(1)の91通りを考え、その中から各車に少なくとも1人は運転できる人が乗るという条件に反するものを除く。運転できる人を $a,b,c$、運転できない人を4人とする。

4人乗りの車に運転できる人が1人もいない場合、4人乗りの人数は2,3,4人なので$${}_4{\mathrm{C}}_2+{}_4{\mathrm{C}}_3+{}_4{\mathrm{C}}_4=6+4+1=11$$通りである。このとき5人乗りには $a,b,c$ が全員乗るので、5人乗り側の条件は満たしているが、4人乗り側が条件に反する。

反対に、5人乗りの車に運転できる人が1人もいない場合は、$a,b,c$ の3人全員が4人乗りの車に乗る。4人乗りの人数は3人または4人であり、$${}_4{\mathrm{C}}_0+{}_4{\mathrm{C}}_1=1+4=5$$ 通りである。これら2種類は同時には起こらないから、求める数は $91-11-5=75$ 通りである。

(3)
徒歩も空車も許されるので、4人乗りの車に $i$ 人、5人乗りの車に $j$ 人乗るとする。定員条件は $$0\leqq i\leqq 4,0\leqq j\leqq 5,i+j\leqq 7$$ である。まず4人乗りに乗る $i$ 人を選び、残り $7-i$ 人から5人乗りに乗る $j$ 人を選ぶと、徒歩の人は自動的に決まる。よって$$\sum _{i=0}^4\sum _{j=0}^{\min (5,7-i)}{}_7{\mathrm{C}}_i{}_{7-i}{\mathrm{C}}_j$$通りである。これを計算すると $2073$ 通りである。

条件・検算

2台は容量が異なるため車の入れ替えを同一視せず、空車・徒歩を許す(3)では定員超過を包除した。

(1) (2) は4人乗り側の集合を選ぶ。(3) は各人を4人乗り・5人乗り・徒歩の3状態へ自由に割り当てた $3^7$ 通りから、各車の定員超過を包除する。

(1)
4人乗りの車の人数は2,3,4人のいずれかであるから、$${}_7{\mathrm{C}}_2+{}_7{\mathrm{C}}_3+{}_7{\mathrm{C}}_4=91$$通りである。

(2)
(1)の91通りから、運転できる $a,b,c$ が片方の車に1人もいない場合を除く。4人乗り側に運転者がいない場合は$${}_4{\mathrm{C}}_2+{}_4{\mathrm{C}}_3+{}_4{\mathrm{C}}_4=11$$通り、5人乗り側に運転者がいない場合は$${}_4{\mathrm{C}}_0+{}_4{\mathrm{C}}_1=5$$通りである。両方は同時に起こらないので$$91-11-5=75$$通りである。

(3)
各人を「4人乗り」「5人乗り」「徒歩」の3状態へ自由に割り当てると$$3^7=2187$$通りである。4人乗りが5人以上になる割当ては$${}_7{\mathrm{C}}_5{2}^2+{}_7{\mathrm{C}}_{6}2+{}_7{\mathrm{C}}_7=99$$通り、5人乗りが6人以上になる割当ては$${}_7{\mathrm{C}}_{6}2+{}_7{\mathrm{C}}_7=15$$通りである。両方の定員を同時に超えることはできない。よって$$2187-99-15=2073$$通りである。