東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $C_1$ の中心は $(\tan \theta ,\tan \theta )$ であり，$C_2$ の中心は $(a\cos \theta -1,a\sin \theta +1)$ である。したがって中心間距離 $L$ の2乗は $$L^2=(\tan \theta -a\cos \theta +1{)}^2+(\tan \theta -a\sin \theta -1{)}^2$$ である。

ここで $t={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$ とおく。$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ より $\cos \theta >0$ なので $t\geqq 1$ である。上の式を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L^2}& {\displaystyle =a^2+2({\tan }^2\theta +1)-2a\{\cos \theta (\tan \theta +1)+\sin \theta (\tan \theta -1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+2{\sec }^2\theta -2a\cdot \frac{1}{\cos \theta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2-2at+2t^2}\end{array}$$である。

(2)

2つの円の半径は3と1である。したがって，2つの円がただ1つの共有点をもつ条件は，外接または内接すること，すなわち $$L=4\text{または}L=2$$ である。

(1) より，$L^2=c$ とおくと，$t$ は $2t^2-2at+a^2-c=0$ を満たす。ただし $c=16$ または $c=4$ である。また $t=1$ は $\theta =0$ の1個に対応し，$t>1$ は $\theta$ と $-\theta$ の2個に対応する。

共有点をただ1つもつ $\theta$ がちょうど5個存在するには，対応個数が奇数になる必要がある。したがって，どちらかの接触条件で $t=1$ が解にならなければならない。

まず $L=4$ の条件で $t=1$ が解になるとすると $a^2-2a+2=16$ であるから $$a=1+\sqrt{15}$$ である。このとき $L=4$ の方程式は $t=1$ と $$t=\sqrt{15}$$ を解にもつ。一方，$L=2$ の方程式は $t\geqq 1$ の解をもたない。よって対応する $\theta$ は $1+2=3$ 個であり，条件を満たさない。

次に $L=2$ の条件で $t=1$ が解になるとすると $a^2-2a+2=4$ であるから $a=1+\sqrt{3}$ である。このとき $L=2$ の方程式は $t=1,t=\sqrt{3}$ を解にもつ。また $L=4$ の方程式は，$t\geqq 1$ の解を1つだけもつ。したがって対応する $\theta$ の個数は $1+2+2=5$ である。

以上より $a=1+\sqrt{3}$ である。

(1) で中心間距離を得た後、$y=2t^2-2at+a^2$ のグラフと $y=4,16$ の交点を $t\geqq 1$ で数える。$t=1$ だけが1個の $\theta$ に、$t>1$ は2個の $\theta$ に対応することを利用する。

(1) 2中心の座標差を2乗して整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L^2}& {\displaystyle =(\tan \theta -a\cos \theta +1{)}^2+(\tan \theta -a\sin \theta -1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+2({\tan }^2\theta +1)-\frac{2a}{\cos \theta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t^2-2at+a^2\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $t=1\mathrm{/}\cos \theta \geqq 1$ である。$t=1$ は $\theta =0$ の1個、$t>1$ は $\pm \theta$ の2個に対応する。したがって全体が奇数の5個になるには、放物線$$y=2t^2-2at+a^2$$と $y=4$ または $y=16$ の交点に $t=1$ が含まれなければならない。

$y=16$ が $t=1$ を通るとき$$a^2-2a+2=16$$より $$a=1+\sqrt{15}$$ である。この場合、$y=16$ との交点は $$t=1,\sqrt{15}$$ だが、$y=4$ とは $t\geqq 1$ で交わらず、$\theta$ は3個にしかならない。

$y=4$ が $t=1$ を通るとき$$a^2-2a+2=4$$より $a=1+\sqrt{3}$ である。この場合、$y=4$ との交点は $t=1,\sqrt{3}$ であり、$y=16$ とは $t>1$ で1回交わる。したがって対応数は $1+2+2=5$ である。よって$$a=1+\sqrt{3}\mathrm{.}$$