問題
実数はを満たすとし，2つの円の方程式を以下で定める。
以下の問いに答えよ。
(1) とおく。の中心との中心の間の距離をとする。をとを用いて表せ。
(2) ある実数に対して，2つの円，がただ1つの共有点をもつようながちょうど5個存在するとする。このときの値を求めよ。
方針
解法1（接触条件を2次方程式の解の個数に直す方法）
2円の中心を読み取り，中心間距離 を で整理する。半径は3と1なので，ただ1つの共有点をもつ条件は外接 または内接 である。 に対して の解を数える。 は の1個， は の2個に対応するため，ちょうど5個にするには がどちらかの接触条件に現れる必要がある。
解法2（放物線と2本の水平線の交点を数える方法）
(1) で中心間距離を得た後、 のグラフと の交点を で数える。 だけが1個の に、 は2個の に対応することを利用する。
解答
解法1（接触条件を2次方程式の解の個数に直す方法）
(1)
の中心は であり， の中心は である。したがって中心間距離 の2乗は である。
ここで とおく。 より なので である。上の式を整理すると
である。
(2)
2つの円の半径は3と1である。したがって，2つの円がただ1つの共有点をもつ条件は，外接または内接すること，すなわち である。
(1) より， とおくと， は を満たす。ただし または である。また は の1個に対応し， は と の2個に対応する。
共有点をただ1つもつ がちょうど5個存在するには，対応個数が奇数になる必要がある。したがって，どちらかの接触条件で が解にならなければならない。
まず の条件で が解になるとすると であるから である。このとき の方程式は と を解にもつ。一方， の方程式は の解をもたない。よって対応する は 個であり，条件を満たさない。
次に の条件で が解になるとすると であるから である。このとき の方程式は を解にもつ。また の方程式は， の解を1つだけもつ。したがって対応する の個数は である。
以上より である。
解法2（放物線と2本の水平線の交点を数える方法）
(1)
2中心の座標差を2乗して整理すると
(2)
である。 は の1個、 は の2個に対応する。したがって全体が奇数の5個になるには、放物線
と または の交点に が含まれなければならない。
が を通るとき
より である。この場合、 との交点は だが、 とは で交わらず、 は3個にしかならない。
が を通るとき
より である。この場合、 との交点は であり、 とは で1回交わる。したがって対応数は である。よって