東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

交点では $y=-x^2+b$ かつ $x^2+y^2=1$ である。$u=x^2$ とおくと $y=b-u$ なので $u+(b-u{)}^2=1$ である。整理して $u^2+(1-2b)u+b^2-1=0$ を得る。

円と曲線が異なる4個の交点をもつためには，この $u$ の2次方程式が異なる2つの正の解をもてばよい。解の和は $2b-1$ であり，解の積は $b^2-1$ である。また判別式は $(1-2b{)}^2-4(b^2-1)=5-4b$ である。したがって必要十分条件は $$2b-1>0,b^2-1>0,5-4b>0$$ である。これらを合わせると $1<b<\frac{5}{4}$ である。

(2) ${\alpha }^2,{\beta }^2$ は，(1) で得た2次方程式 $u^2+(1-2b)u+b^2-1=0$ の2つの正の解であり，$0<\beta <\alpha$ である。したがって根と係数の関係より ${\alpha }^2+{\beta }^2=2b-1$ である。また2解の差は判別式の平方根に等しいので $${\alpha }^2-{\beta }^2=\sqrt{5-4b}$$ である。

曲線 $C:y=-x^2+b$ は $x^2=b-y$ と書ける。高さ $y$ での水平断面を $y$ 軸のまわりに回転すると，半径 $\sqrt{b-y}$ の円板になる。領域の下端と上端はそれぞれ $$y=f(\alpha )=b-{\alpha }^2,y=f(\beta )=b-{\beta }^2$$ である。したがって体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_{b-{\alpha }^2}^{b-{\beta }^2}(b-y)dy$$である。

ここで $u=b-y$ とおくと$$V=\pi {\int }_{{\beta }^2}^{{\alpha }^2}udu+=\frac{\pi }{2}({\alpha }^4-{\beta }^4)$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{\pi }{2}({\alpha }^2-{\beta }^2)({\alpha }^2+{\beta }^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{2}(2b-1)\sqrt{5-4b}}\end{array}$$である。

交点条件は解法1と同様に $u=x^2$ の2次方程式で処理する。体積は半径 $x$ の円筒殻に分け、$0\leqq x\leqq \beta$ と $\beta \leqq x\leqq \alpha$ で殻の高さを分ける。

(1) $u=x^2$ とおくと交点条件は$$u^2+(1-2b)u+b^2-1=0$$である。異なる2つの正の解をもつ条件は、解の和・積・判別式から$$2b-1>0,b^2-1>0,5-4b>0.$$よって$$1<b<\frac{5}{4}\mathrm{.}$$(2) 根と係数の関係から$${\alpha }^2+{\beta }^2=2b-1,{\alpha }^2-{\beta }^2=\sqrt{5-4b}\mathrm{.}$$半径 $x$ の円筒殻の高さは、$0\leqq x\leqq \beta$ では ${\alpha }^2-{\beta }^2$、$\beta \leqq x\leqq \alpha$ では ${\alpha }^2-x^2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle 2\pi {\int }_0^{\beta }x({\alpha }^2-{\beta }^2)dx+2\pi {\int }_{\beta }^{\alpha }x({\alpha }^2-x^2)dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle \frac{\pi }{2}({\alpha }^2-{\beta }^2)({\alpha }^2+{\beta }^2)\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$V=\frac{\pi }{2}(2b-1)\sqrt{5-4b}\mathrm{.}$$