東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $$\overrightarrow{AB}=(-2,-6,3),\overrightarrow{AC}=(-6,0,3)\mathrm{.}$$$\vec{n}=(p,q,s)$ が両方に垂直である条件は$$-2p-6q+3s=0,-6p+3s=0.$$これを解くと $(p,q,s)$ は $(3,2,6)$ の実数倍である。$\mathrm{\mid }(3,2,6)\mathrm{\mid }=7$ だから、求める単位ベクトルは$$(\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{6}{7}),(-\frac{3}{7},-\frac{2}{7},-\frac{6}{7})\mathrm{.}$$(2) 法線ベクトル $(3,2,6)$ を用いると、平面 $\alpha$ は$$3x+2y+6z=48$$である。球が3つの座標平面すべてに接する条件は$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=r\mathrm{.}$$$a,b\geqq 0$ より $a=b=r$ であり、$c=r$ または $c=-r$ である。

さらに平面 $\alpha$ までの距離が $r$ だから$$\frac{\mathrm{\mid }3a+2b+6c-48\mathrm{\mid }}{7}=r\mathrm{.}$$$c=r$ のとき$$\mathrm{\mid }11r-48\mathrm{\mid }=7r$$であり、$r=12$ または $r=8\mathrm{/}3$ を得る。$c=-r$ のとき$$\mathrm{\mid }-r-48\mathrm{\mid }=7r$$より $r=8$ である。したがって求める組は$$(P,r)=((12,12,12),12),((\frac{8}{3},\frac{8}{3},\frac{8}{3}),\frac{8}{3}),((8,8,-8),8)\mathrm{.}$$

平面を $ux+vy+wz=d$ と置き、3点の代入から係数比と定数を決める。(2) は座標平面との接触から中心を8象限の符号で表し、指定された符号条件で2場合に絞る。

(1) 平面を $ux+vy+wz=d$ とおく。3点を代入すると$$6u+6v+3w=d,4u+6w=d,6v+6w=d\mathrm{.}$$辺々の差から$$2u+6v-3w=0,6u-3w=0$$となり、$u:v:w=3:2:6$ を得る。したがって単位法線ベクトルは$$\pm (\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{6}{7})\mathrm{.}$$(2) 係数を $(3,2,6)$ と取れば、$A$ の代入から $d=48$ である。座標平面への距離がすべて $r$ で、$a,b\geqq 0$ だから$$P=(r,r,r)\text{または}P=(r,r,-r)\mathrm{.}$$前者では平面までの距離条件が$$\frac{\mathrm{\mid }11r-48\mathrm{\mid }}{7}=r$$となる。絶対値の中が非負なら $r=12$、負なら $r=8\mathrm{/}3$ で、どちらも仮定した符号と整合する。後者では$$\frac{r+48}{7}=r$$より $r=8$ である。よって$$(P,r)=((12,12,12),12),((\frac{8}{3},\frac{8}{3},\frac{8}{3}),\frac{8}{3}),((8,8,-8),8)\mathrm{.}$$