東北大学 2021年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

座標空間において、3点 $A (6, 6, 3)$ 、 $B (4, 0, 6)$ 、 $C (0, 6, 6)$ を通る平面を $α$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $α$ に垂直で大きさが1のベクトルをすべて求めよ。

(2) 中心が点 $P (a, b, c)$ で半径が $r$ の球が平面 $α$ 、 $x y$ 平面、 $y z$ 平面、 $z x$ 平面のすべてに接し、かつ $a ≧ 0, b ≧ 0$ が満たされている。このような点 $P$ と $r$ の組をすべて求めよ。

出典：東北大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

平面内の2ベクトル $A B, A C$ の両方に垂直なベクトルを連立方程式で求める。平面の方程式を作り、4平面への距離がすべて半径 $r$ に等しい条件を符号別に解く。

平面を $ux + v y + w z = d$ と置き、3点の代入から係数比と定数を決める。(2) は座標平面との接触から中心を8象限の符号で表し、指定された符号条件で2場合に絞る。

A B = (- 2, - 6, 3), A C = (- 6, 0, 3) .

$n = (p, q, s)$ が両方に垂直である条件は

- 2 p - 6 q + 3 s = 0, - 6 p + 3 s = 0.

これを解くと $(p, q, s)$ は $(3, 2, 6)$ の実数倍である。 $∣ (3, 2, 6) ∣ = 7$ だから、求める単位ベクトルは

(\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{6}{7}), (- \frac{3}{7}, - \frac{2}{7}, - \frac{6}{7}) .

法線ベクトル $(3, 2, 6)$ を用いると、平面 $α$ は

3 x + 2 y + 6 z = 48

である。球が3つの座標平面すべてに接する条件は

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = r .

$a, b ≧ 0$ より $a = b = r$ であり、 $c = r$ または $c = - r$ である。

さらに平面 $α$ までの距離が $r$ だから

\frac{∣3 a + 2 b + 6 c - 48∣}{7} = r .

$c = r$ のとき

∣11 r - 48∣ = 7 r

であり、 $r = 12$ または $r = 8/3$ を得る。 $c = - r$ のとき

∣ - r - 48∣ = 7 r

より $r = 8$ である。したがって求める組は

(P, r) = ((12, 12, 12), 12), ((\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3}), \frac{8}{3}), ((8, 8, - 8), 8) .

平面を $ux + v y + w z = d$ とおく。3点を代入すると

6 u + 6 v + 3 w = d, 4 u + 6 w = d, 6 v + 6 w = d .

辺々の差から

2 u + 6 v - 3 w = 0, 6 u - 3 w = 0

となり、 $u : v : w = 3 : 2 : 6$ を得る。したがって単位法線ベクトルは

\pm (\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{6}{7}) .

係数を $(3, 2, 6)$ と取れば、 $A$ の代入から $d = 48$ である。座標平面への距離がすべて $r$ で、 $a, b ≧ 0$ だから

P = (r, r, r) または P = (r, r, - r) .

前者では平面までの距離条件が

\frac{∣11 r - 48∣}{7} = r

となる。絶対値の中が非負なら $r = 12$ 、負なら $r = 8/3$ で、どちらも仮定した符号と整合する。後者では

\frac{r + 48}{7} = r

より $r = 8$ である。よって

(P, r) = ((12, 12, 12), 12), ((\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3}), \frac{8}{3}), ((8, 8, - 8), 8) .