東北大学 2021年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。必要ならば

n \to \infty lim \frac{lo g n}{n} = 0

を用いてよい。

(1) 2以上の整数 $n$ に対して不等式

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} < lo g n

を示せ。

(2) 正の整数 $n$ に対し

a_{n} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}}

により数列 ${a_{n}}$ を定める。このとき、等式

n \to \infty lim \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} = \frac{1}{2}

を示せ。

(3) さらに正の整数 $n$ に対し

b_{n} = \frac{n a _{1} + ( n - 1 ) a _{2} + \dots + 2 a _{n - 1} + a _{n}}{n ^{2}}

により数列 ${b_{n}}$ を定めるとき、極限値 $n \to \infty lim b_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

解法1（積分比較から調和和を評価する方法）

(1) は $1/ x$ の単調減少性を使い、各 $1/ k$ を区間 $[k - 1, k]$ の定積分より小さく評価する。(2) は $a_{n}$ を簡単化し、(1) で調和和をはさむ。(3) は重みつき和を調和和 $H_{n}$ で正確に表す。

解法2（累積和へ並べ替える方法）

(1)(2) で調和和の評価と $a_{n}$ の式を得る。(3) の三角形状の重みつき和を累積和 $A_{j} = a_{1} + \dots + a_{j}$ の和へ並べ替え、誤差全体を一度にはさむ。

解答

解法1（積分比較から調和和を評価する方法）

(1)

$k ≧ 2$ とする。 $1/ x$ は正の範囲で単調減少するから、 $k - 1 < x < k$ では $1/ x > 1/ k$ である。したがって

\frac{1}{k} < \int_{k - 1}^{k} \frac{d x}{x} .

これを $k = 2, 3, \dots, n$ について加えると

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} < \int_{1}^{n} \frac{d x}{x} = lo g n .

(2)

a_{n} = \frac{n ( n + 1 ) /2}{n ^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} .

よって

\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) .

(1)より

0 < \frac{1}{2 n} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) < \frac{1 + lo g n}{2 n} ⟶ 0.

はさみうちにより

n \to \infty lim \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} = \frac{1}{2} .

(3)

$H_{n} = 1 + 1/2 + \dots + 1/ n$ とおく。 $a_{k} = 1/2 + 1/ (2 k)$ だから

b_{n} = \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n (n - k + 1) a_{k} = \frac{n ( n + 1 )}{4 n ^{2}} + \frac{1}{2 n ^{2}} k = 1 \sum n \frac{n - k + 1}{k} = \frac{n + 1}{4 n} + \frac{( n + 1 ) H _{n} - n}{2 n ^{2}} .

ここで $H_{n} < 1 + lo g n$ より第2項は0へ収束する。したがって

n \to \infty lim b_{n} = \frac{1}{4} .

解法2（累積和へ並べ替える方法）

(1)

各 $k = 2, \dots, n$ について

\frac{1}{k} < \int_{k - 1}^{k} \frac{d x}{x}

である。辺々を加えて

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} < lo g n

を得る。

(2)

$a_{k} = 1/2 + 1/ (2 k)$ なので

\frac{1}{n} k = 1 \sum n a_{k} = \frac{1}{2} + \frac{H _{n}}{2 n} .

$0 < H_{n} < 1 + lo g n$ と与えられた極限から $H_{n} / n \to 0$ である。したがって極限は $1/2$ である。

(3)

$A_{j} = a_{1} + \dots + a_{j}$ とおく。各 $a_{k}$ が $A_{k}, A_{k + 1}, \dots, A_{n}$ に1回ずつ現れることから

n a_{1} + (n - 1) a_{2} + \dots + a_{n} = A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n} .

また

A_{j} = \frac{j}{2} + \frac{H _{j}}{2} .

したがって

b_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{4 n ^{2}} + \frac{1}{2 n ^{2}} j = 1 \sum n H_{j} .

$0 < H_{j} ≦ H_{n} < 1 + lo g n$ より

0 < \frac{1}{2 n ^{2}} j = 1 \sum n H_{j} < \frac{1 + lo g n}{2 n} ⟶ 0.

ゆえに

n \to \infty lim b_{n} = \frac{1}{4} .

東北大学 2021年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解法1（積分比較から調和和を評価する方法）

解法2（累積和へ並べ替える方法）

解答

解法1（積分比較から調和和を評価する方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（累積和へ並べ替える方法）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2021年度
後期・理系数学後期第5問