東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $k\geqq 2$ とする。$1\mathrm{/}x$ は正の範囲で単調減少するから、$k-1<x<k$ では $1\mathrm{/}x>1\mathrm{/}k$ である。したがって$$\frac{1}{k}<{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x}\mathrm{.}$$これを $k=2,3,\dots ,n$ について加えると$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}<{\int }_1^n\frac{dx}{x}=\log n\mathrm{.}$$(2)$$a_n=\frac{n(n+1)\mathrm{/}2}{n^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\mathrm{.}$$よって$$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n})\mathrm{.}$$(1)より$$0<\frac{1}{2n}(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n})<\frac{1+\log n}{2n}⟶0.$$はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(3) $H_n=1+1\mathrm{/}2+\cdots +1\mathrm{/}n$ とおく。$a_k=1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}(2k)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n(n-k+1)a_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n+1)}{4n^2}+\frac{1}{2n^2}\sum _{k=1}^n\frac{n-k+1}{k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n+1}{4n}+\frac{(n+1)H_n-n}{2n^2}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $H_n<1+\log n$ より第2項は0へ収束する。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

(1) (2) で調和和の評価と $a_n$ の式を得る。(3) の三角形状の重みつき和を累積和 $A_j=a_1+\cdots +a_j$ の和へ並べ替え、誤差全体を一度にはさむ。

(1) 各 $k=2,\dots ,n$ について$$\frac{1}{k}<{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x}$$である。辺々を加えて$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}<\log n$$を得る。

(2) $a_k=1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}(2k)$ なので$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k=\frac{1}{2}+\frac{H_n}{2n}\mathrm{.}$$$0<H_n<1+\log n$ と与えられた極限から $H_n\mathrm{/}n\to 0$ である。したがって極限は $1\mathrm{/}2$ である。

(3) $A_j=a_1+\cdots +a_j$ とおく。各 $a_k$ が $A_k,A_{k+1},\dots ,A_n$ に1回ずつ現れることから$$n{a}_1+(n-1)a_2+\cdots +a_n=A_1+A_2+\cdots +A_n\mathrm{.}$$また$$A_j=\frac{j}{2}+\frac{H_j}{2}\mathrm{.}$$したがって$$b_n=\frac{n(n+1)}{4n^2}+\frac{1}{2n^2}\sum _{j=1}^n{H}_j\mathrm{.}$$$0<H_j\leqq H_n<1+\log n$ より$$0<\frac{1}{2n^2}\sum _{j=1}^n{H}_j<\frac{1+\log n}{2n}⟶0.$$ゆえに$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$