東北大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

面積比は三角形 $ABC$ の形によらないので，$$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$$ としてよい。このとき三角形 $ABC$ の面積は $S=\frac{1}{2}$ である。

点 $P,Q,R$ の座標は，内分比の定義から $$P=(a,0),Q=(1-b,b),R=(0,\frac{1}{2})$$ である。したがって$$\overrightarrow{PQ}=(1-a-b,b),\overrightarrow{PR}=(-a,\frac{1}{2})$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid \frac{1-a-b}{2}+ab\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{1-a-b}{2}+ab\}}\end{array}$$である。$0<a<1,0<b<1$ では $$1-a-b+2ab=(1-a)(1-b)+ab>0$$ なので絶対値は外せる。したがって $$\frac{T}{S}=\frac{1-a-b+2ab}{2}$$ である。

(2)

(1) より $$\frac{T}{S}=\frac{1-a-b+2ab}{2}=\frac{1-a-b(1-2a)}{2}$$ である。$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ では $1-2a>0$ であるから，固定した $a$ に対してこの値は $b$ が大きいほど小さくなる。

上限については，$a\to 0+$，$b\to 0+$ とすると $$\frac{T}{S}\to \frac{1}{2}$$ である。一方，$a>0,b>0$ なので $1-a-b+2ab<1$ であり，実際の値は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ にはならない。

下限については，$b\to {\displaystyle \frac{1}{2}}$（下から）とすると $$\frac{1-a-b+2ab}{2}\to \frac{1-a-\frac{1}{2}+a}{2}=\frac{1}{4}$$ である。一方，$b<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ かつ $1-2a>0$ より $$1-a-b(1-2a)>1-a-\frac{1}{2}(1-2a)=\frac{1}{2}$$ だから，実際の値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ より大きい。したがって値の範囲は $$\frac{1}{4}<\frac{T}{S}<\frac{1}{2}$$ である。

(3) $$a=\frac{1}{p},b=\frac{1}{q}$$ とすると，(1) より $$\frac{T}{S}=\frac{pq-p-q+2}{2pq}$$ である。したがって $$\frac{S}{T}=\frac{2pq}{pq-p-q+2}$$ である。 $p,q\geqq 3$ のとき $$\frac{1}{4}<\frac{T}{S}<\frac{1}{2}$$ であるから $$2<\frac{S}{T}<4$$ である。よって ${\displaystyle \frac{S}{T}}$ が整数であるなら，その値は $3$ に限られる。したがって $$\frac{2pq}{pq-p-q+2}=3$$ であり，整理すると $pq-3p-3q+6=0$ である。さらに $(p-3)(q-3)=pq-3p-3q+9=3$ となる。$p-3,q-3$ は正の整数なので $(p-3,q-3)=(1,3),(3,1)$ である。よって求める組は $(p,q)=(4,6),(6,4)$ である。

$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ と置き、各点を $\vec{u},\vec{v}$ の係数で表す。三角形PQRの面積比は、2辺の係数を交差させた差の絶対値として直接求める。

(1) $A$ を原点とし、$$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$$ とおく。内分点は$$\overrightarrow{AP}=a\vec{u},\overrightarrow{AQ}=(1-b)\vec{u}+b\vec{v},\overrightarrow{AR}=\frac{1}{2}\vec{v}$$である。したがって$$\overrightarrow{PQ}=(1-a-b)\vec{u}+b\vec{v},\overrightarrow{PR}=-a\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\mathrm{.}$$2本のベクトルが作る三角形の面積を係数で比較すると$$\frac{T}{S}=\mid (1-a-b)\cdot \frac{1}{2}-b(-a)\mid =\frac{1-a-b+2ab}{2}\mathrm{.}$$最後の式は $(1-a)(1-b)+ab>0$ なので絶対値を外せる。

(2) $$\frac{T}{S}-\frac{1}{4}=\frac{(1-2a)(1-2b)}{4}>0,\frac{1}{2}-\frac{T}{S}=\frac{a+b-2ab}{2}>0$$である。$a,b$ をそれぞれ $1\mathrm{/}2$ または0へ近づければ両端へいくらでも近づけるから$$\frac{1}{4}<\frac{T}{S}<\frac{1}{2}$$である。

(3) $a=1\mathrm{/}p,b=1\mathrm{/}q$ を代入すると$$\frac{S}{T}=\frac{2pq}{pq-p-q+2}\mathrm{.}$$(2)より整数値は3しかない。よって$$pq-3p-3q+6=0⟺(p-3)(q-3)=3.$$$p,q\geqq 3$ から$$(p,q)=(4,6),(6,4)$$を得る。