問題
を，を満たす実数とする。平面上の三角形を考え，辺をに内分する点を，辺をに内分する点を，辺の中点をとし，三角形の面積を，三角形の面積をとする。
(1) をで表せ。
(2) が，の範囲を動くとき，がとりうる値の範囲を求めよ。
(3) を3以上の整数とし，，とする。の逆数が整数となるようなの組をすべて求めよ。
方針
解法1（標準三角形へ座標化する方法）
面積比はアフィン変換で変わらないので，三角形を に標準化する。点 の座標を出し，行列式で を求める。範囲問題では で となることから，固定した に対して が大きいほど面積比が小さくなると見る。整数条件では を代入し， が整数になる可能性をまず大小で に絞り，最後に因数分解で を決める。
解法2（2本の基底ベクトルの係数で面積比を出す方法）
と置き、各点を の係数で表す。三角形PQRの面積比は、2辺の係数を交差させた差の絶対値として直接求める。
解答
解法1（標準三角形へ座標化する方法）
(1)
面積比は三角形 の形によらないので， としてよい。このとき三角形 の面積は である。
点 の座標は，内分比の定義から である。したがって
である。よって
である。 では なので絶対値は外せる。したがって である。
(2)
(1) より である。 では であるから，固定した に対してこの値は が大きいほど小さくなる。
上限については，， とすると である。一方， なので であり，実際の値は にはならない。
下限については，（下から）とすると である。一方， かつ より だから，実際の値は より大きい。したがって値の範囲は である。
(3)
とすると，(1) より である。したがって である。 のとき であるから である。よって が整数であるなら，その値は に限られる。したがって であり，整理すると である。さらに となる。 は正の整数なので である。よって求める組は である。
解法2（2本の基底ベクトルの係数で面積比を出す方法）
(1)
を原点とし、 とおく。内分点は
である。したがって
2本のベクトルが作る三角形の面積を係数で比較すると
最後の式は なので絶対値を外せる。
(2)
である。 をそれぞれ または0へ近づければ両端へいくらでも近づけるから
である。
(3)
を代入すると
(2)より整数値は3しかない。よって
から
を得る。