東北大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$I_n={\int }_0^a\frac{(a-x{)}^n}{n!}{e}^{x}dx$$とおく。まず $n=1$ のとき，部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_1}& {\displaystyle ={\int }_0^a(a-x)e^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[(a-x)e^x]}_0^a+{\int }_0^a{e}^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-a+(e^a-1)=e^a-1-a}\end{array}$$である。したがって $e^a=1+a+I_1$ となり，主張は成り立つ。

次に，ある $n$ で $$e^a=1+a+\frac{a^2}{2!}+\cdots +\frac{a^n}{n!}+I_n$$ が成り立つと仮定する。$I_n$ を部分積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle ={\left[\frac{(a-x{)}^n}{n!}{e}^x\right]}_0^a+{\int }_0^a\frac{(a-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{a^n}{n!}+I_{n-1}}\end{array}$$である。これを1段先の形で書けば $$I_n=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}+I_{n+1}$$ である。実際，この等式は $I_{n+1}$ を部分積分することで得られる。

したがって仮定式に代入すると$$e^a=1+a+\frac{a^2}{2!}+\cdots +\frac{a^n}{n!}+\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}+I_{n+1}$$となり，$n+1$ でも成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての正の整数 $n$ で与えられた等式が成り立つ。

(2) $0\leqq x\leqq a$ では $1\leqq e^x\leqq e^a$ である。また $(a-x{)}^n\mathrm{/}n!\geqq 0$ なので，両辺に掛けて積分すると$${\int }_0^a\frac{(a-x{)}^n}{n!}dx\leqq {\int }_0^a\frac{(a-x{)}^n}{n!}{e}^{x}dx\leqq e^a{\int }_0^a\frac{(a-x{)}^n}{n!}dx$$である。ここで$${\int }_0^a\frac{(a-x{)}^n}{n!}dx=\frac{1}{n!}{[-\frac{(a-x{)}^{n+1}}{n+1}]}_0^a=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}$$である。よって$$\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\leqq {\int }_0^a\frac{(a-x{)}^n}{n!}{e}^{x}dx\leqq \frac{e^a{a}^{n+1}}{(n+1)!}$$が成り立つ。

(3)

(1) を $a=1$ に適用すると$$e-(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!})={\int }_0^1\frac{(1-x{)}^n}{n!}{e}^{x}dx$$である。この右辺は正なので，絶対値はそのまま外せる。(2) より $$\frac{1}{(n+1)!}\leqq \text{誤差}\leqq \frac{e}{(n+1)!}$$ である。 $n=5$ のとき，下限から $$\text{誤差}\geqq \frac{1}{6!}=\frac{1}{720}>{10}^{-3}$$ なので条件を満たさない。

一方 $n=6$ のとき，$e<3$ を用いると $$\text{誤差}\leqq \frac{e}{7!}<\frac{3}{5040}<{10}^{-3}$$ である。したがって条件を満たす最小の正の整数は $6$ である。