東北大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $z=0$ のときは3点 $O,A,B$ は同一直線上にある。以下 $z\mathrm{\ne }0$ とする。

3点 $O(0),A(z),B(z^2)$ が同一直線上にあることは，$z^2$ が $z$ の実数倍であることと同値である。すなわち，ある実数 $\lambda$ があって $z^2=\lambda z$ となることである。$z\mathrm{\ne }0$ より両辺を $z$ で割ると $z=\lambda$ となる。したがって $z$ は実数である。

逆に $z$ が実数なら，$0,z,z^2$ はすべて実軸上にあるので3点は同一直線上にある。よって必要十分条件は $z\text{ が実数であること}$ である。

(2) $$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )(r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid })$$ とおく。三辺の長さは $$OA=r,OB=r^2,AB=\mathrm{\mid }{z}^2-z\mathrm{\mid }=r\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$$ である。二等辺三角形になる条件は次の3つのいずれかである。

まず $OA=OB$ は $r=r^2$ であり，三角形を作る場合には $r\mathrm{\ne }0$ なので $r=1$ である。これは単位円である。

次に $OA=AB$ は $r=r\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$ であり，$r\mathrm{\ne }0$ より $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ である。これは中心 $1$，半径 $1$ の円である。

最後に $OB=AB$ は $r^2=r\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$ であり，$r\mathrm{\ne }0$ より $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$ である。これは2点 $0,1$ から等距離にある点の集合なので $\mathrm{\Re }z=\frac{1}{2}$ である。

したがって求める集合は，単位円，中心 $1$ 半径 $1$ の円，直線 $\mathrm{\Re }z={\displaystyle \frac{1}{2}}$ の和集合から，三角形がつぶれる実軸上の点を除いたものである。

(3) $$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$ とすると，三角形 $OAB$ の面積は，辺 $OA$ と $OB$ のなす角が $\theta$ であることから $$\frac{1}{2}\cdot r\cdot r^2\sin \theta =\frac{1}{2}{r}^3\sin \theta$$ である。以下，$$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ で，(2) の3つの場合を調べる。 $r=1$ の場合，面積は $\frac{1}{2}\sin \theta$ であり，最大値は $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$ の場合，極形式では $$r=\frac{1}{2\cos \theta }$$ である。このとき面積は $\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2\cos \theta }\right)}^3\sin \theta$ であり，$$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ で最大となるのは $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のときで，最大値は $\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。 $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ の場合，極形式では $r=2\cos \theta$ である。面積は $$\frac{1}{2}(2\cos \theta {)}^3\sin \theta =4{\cos }^3\theta \sin \theta$$ である。これを $$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ で最大化する。微分すると$$\frac{d}{d\theta }(4{\cos }^3\theta \sin \theta )=4{\cos }^2\theta ({\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )$$であるから，最大は $$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}},\theta =\frac{\pi }{6}$$ のときに起こる。このとき $$r=2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$$ であり，面積は $$4{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ である。

したがって最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ であり，そのとき$$z=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$である。

$z=x+yi$ と置き、3辺の長さの等式を円2本と垂直二等分線へ直す。面積を $\frac{1}{2}(x^2+y^2)y$ と表し、各軌跡上で座標による最大化を行う。

(1) $z=0$ なら明らかである。$z\mathrm{\ne }0$ のとき、$O,A,B$ が一直線上にあることは $z^2\mathrm{/}z=z$ が実数であることと同値である。したがって必要十分条件は$$z\text{ が実数であること}$$である。

(2) $z=x+yi$ とおく。3辺の長さの2乗は$$O{A}^2=x^2+y^2,O{B}^2=(x^2+y^2{)}^2,A{B}^2=(x^2+y^2)\{(x-1{)}^2+y^2\}$$である。三角形を作る場合は $z\mathrm{\ne }0$ だから、二等辺条件は順に$$x^2+y^2=1,(x-1{)}^2+y^2=1,x=\frac{1}{2}$$となる。よって単位円、中心 $(1,0)$・半径1の円、直線 $x=1\mathrm{/}2$ の和集合から、実軸上の退化する点を除いたものが答えである。

(3) $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}3$ では $y\geqq 0$ である。$B=z^2=(x^2-y^2)+2xyi$ だから、三角形の面積 $S$ は$$S=\frac{1}{2}\{2x^{2}y-y(x^2-y^2)\}=\frac{1}{2}(x^2+y^2)y\mathrm{.}$$単位円上では $S=y\mathrm{/}2\leqq \sqrt{3}\mathrm{/}4$ である。直線 $x=1\mathrm{/}2$ 上では $0<y\leqq \sqrt{3}\mathrm{/}2$ で、$S=\frac{1}{2}(1\mathrm{/}4+y^2)y$ は増加するから最大は $\sqrt{3}\mathrm{/}4$ である。

残る円 $(x-1{)}^2+y^2=1$ では $x^2+y^2=2x$ なので $S=xy$ である。$$S^2=x^2(2x-x^2)=x^3(2-x)$$ を微分すると$$\frac{d}{dx}\{x^3(2-x)\}=2x^2(3-2x)$$であり、最大は $x=3\mathrm{/}2$ のときである。このとき $y=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ だから$$S_{\max }=\frac{3\sqrt{3}}{4},z=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\mathrm{.}$$