東北大学 2021年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$z$ を複素数とする。複素数平面上の3点 $O (0)$ ， $A (z)$ ， $B (z^{2})$ について，以下の問いに答えよ。

(1) 3点 $O, A, B$ が同一直線上にあるための $z$ の必要十分条件を求めよ。

(2) 3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ 全体を複素数平面上に図示せよ。

(3) 3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点であり，かつ $z$ の偏角 $θ$ が $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ を満たすとき，三角形 $O A B$ の面積の最大値とそのときの $z$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1（極形式で3種類の二等辺条件を調べる方法）

$z = r e^{i θ}$ とおくと，三辺の長さは $O A = r$ ， $O B = r^{2}$ ， $A B = r ∣ z - 1∣$ になる。(1) の共線条件は， $z^{2}$ が $z$ の実数倍になること，つまり $z$ が実数であることに帰着する。(2) の二等辺条件は3辺の等式 $O A = O B$ ， $O A = A B$ ， $O B = A B$ に分け，それぞれ単位円，中心1半径1の円，直線 $ℜ z = 1/2$ を得る。面積最大では，各軌跡を $0 ≦ θ ≦ π /3$ に制限して $\frac{1}{2} r^{3} sin θ$ を比較する。

解法2（実部・虚部の座標で最大化する方法）

$z = x + y i$ と置き、3辺の長さの等式を円2本と垂直二等分線へ直す。面積を $\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) y$ と表し、各軌跡上で座標による最大化を行う。

解答

解法1（極形式で3種類の二等辺条件を調べる方法）

(1)

$z = 0$ のときは3点 $O, A, B$ は同一直線上にある。以下 $z \neq = 0$ とする。

3点 $O (0), A (z), B (z^{2})$ が同一直線上にあることは， $z^{2}$ が $z$ の実数倍であることと同値である。すなわち，ある実数 $λ$ があって $z^{2} = λ z$ となることである。 $z \neq = 0$ より両辺を $z$ で割ると $z = λ$ となる。したがって $z$ は実数である。

逆に $z$ が実数なら， $0, z, z^{2}$ はすべて実軸上にあるので3点は同一直線上にある。よって必要十分条件は $z が実数であること$ である。

(2)

$z = r (cos θ + i sin θ) (r = ∣ z ∣)$ とおく。三辺の長さは $O A = r, O B = r^{2}, A B = ∣ z^{2} - z ∣ = r ∣ z - 1∣$ である。二等辺三角形になる条件は次の3つのいずれかである。

まず $O A = O B$ は $r = r^{2}$ であり，三角形を作る場合には $r \neq = 0$ なので $r = 1$ である。これは単位円である。

次に $O A = A B$ は $r = r ∣ z - 1∣$ であり， $r \neq = 0$ より $∣ z - 1∣ = 1$ である。これは中心 $1$ ，半径 $1$ の円である。

最後に $O B = A B$ は $r^{2} = r ∣ z - 1∣$ であり， $r \neq = 0$ より $∣ z ∣ = ∣ z - 1∣$ である。これは2点 $0, 1$ から等距離にある点の集合なので $ℜ z = \frac{1}{2}$ である。

したがって求める集合は，単位円，中心 $1$ 半径 $1$ の円，直線 $ℜ z = \frac{1}{2}$ の和集合から，三角形がつぶれる実軸上の点を除いたものである。

(3)

$z = r (cos θ + i sin θ)$ とすると，三角形 $O A B$ の面積は，辺 $O A$ と $O B$ のなす角が $θ$ であることから $\frac{1}{2} \cdot r \cdot r^{2} sin θ = \frac{1}{2} r^{3} sin θ$ である。以下， $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ で，(2) の3つの場合を調べる。 $r = 1$ の場合，面積は $\frac{1}{2} sin θ$ であり，最大値は $θ = \frac{π}{3}$ のとき $\frac{3}{4}$ である。 $∣ z ∣ = ∣ z - 1∣$ の場合，極形式では $r = \frac{1}{2 c o s θ}$ である。このとき面積は $\frac{1}{2} (\frac{1}{2 c o s θ})^{3} sin θ$ であり， $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ で最大となるのは $θ = \frac{π}{3}$ のときで，最大値は $\frac{3}{4}$ である。 $∣ z - 1∣ = 1$ の場合，極形式では $r = 2 cos θ$ である。面積は $\frac{1}{2} (2 cos θ)^{3} sin θ = 4 cos^{3} θ sin θ$ である。これを $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ で最大化する。微分すると

\frac{d}{d θ} (4 cos^{3} θ sin θ) = 4 cos^{2} θ (cos^{2} θ - 3 sin^{2} θ)

であるから，最大は $tan θ = \frac{1}{3}, θ = \frac{π}{6}$ のときに起こる。このとき $r = 2 cos \frac{π}{6} = 3$ であり，面積は $4 (\frac{3}{2})^{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 3}{4}$ である。

したがって最大値は $\frac{3 3}{4}$ であり，そのとき

z = 3 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

である。

解法2（実部・虚部の座標で最大化する方法）

(1)

$z = 0$ なら明らかである。 $z \neq = 0$ のとき、 $O, A, B$ が一直線上にあることは $z^{2} / z = z$ が実数であることと同値である。したがって必要十分条件は

z が実数であること

である。

(2)

$z = x + y i$ とおく。3辺の長さの2乗は

O A^{2} = x^{2} + y^{2}, O B^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2}, A B^{2} = (x^{2} + y^{2}) {(x - 1)^{2} + y^{2}}

である。三角形を作る場合は $z \neq = 0$ だから、二等辺条件は順に

x^{2} + y^{2} = 1, (x - 1)^{2} + y^{2} = 1, x = \frac{1}{2}

となる。よって単位円、中心 $(1, 0)$ ・半径1の円、直線 $x = 1/2$ の和集合から、実軸上の退化する点を除いたものが答えである。

(3)

$0 ≦ θ ≦ π /3$ では $y ≧ 0$ である。 $B = z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i$ だから、三角形の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} {2 x^{2} y - y (x^{2} - y^{2})} = \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) y .

単位円上では $S = y /2 ≦ 3 /4$ である。直線 $x = 1/2$ 上では $0 < y ≦ 3 /2$ で、 $S = \frac{1}{2} (1/4 + y^{2}) y$ は増加するから最大は $3 /4$ である。

残る円 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ では $x^{2} + y^{2} = 2 x$ なので $S = x y$ である。 $S^{2} = x^{2} (2 x - x^{2}) = x^{3} (2 - x)$ を微分すると

\frac{d}{d x} {x^{3} (2 - x)} = 2 x^{2} (3 - 2 x)

であり、最大は $x = 3/2$ のときである。このとき $y = 3 /2$ だから

S_{m a x} = \frac{3 3}{4}, z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i .

東北大学 2021年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1（極形式で3種類の二等辺条件を調べる方法）

解法2（実部・虚部の座標で最大化する方法）

解答

解法1（極形式で3種類の二等辺条件を調べる方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（実部・虚部の座標で最大化する方法）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2021年度
理系数学前期第5問