東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$y=x+1$ とおく。$x$ が実数全体を動くとき、$y$ も実数全体を動く。また $$x^2+3x+a=(y-1{)}^2+3(y-1)+a=y^2+y+a-2$$ であり、$(x+1{)}^2=y^2$ だから $f(x)=y^2(y^2+y+a-2)$ である。以下、$f$ を $y$ の関数として扱う。

(1) $y^2\geqq 0$ であり、$y=0$ では $f=0$ である。したがって $f$ が負の値をとるためには、ある $y\mathrm{\ne }0$ で $y^2+y+a-2<0$ となればよい。

2次式 $y^2+y+a-2$ の最小値は、$y=-\frac{1}{2}$ のとき $$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+a-2=a-\frac{9}{4}$$ である。よって負の値をとる $y$ が存在する条件は $a-\frac{9}{4}<0$ である。したがって求める範囲は $a<\frac{9}{4}$ である。

(2)
微分すると $$\frac{df}{dy}=2y(y^2+y+a-2)+y^2(2y+1)=y(4y^2+3y+2a-4)$$ である。 $a<2$ のとき、2次方程式 $4y^2+3y+2a-4=0$ は積が $$\frac{2a-4}{4}<0$$ であるから、負の解と正の解を1つずつもつ。それらを $y_1<0<y_2$ とする。導関数の符号を調べると、$y=y_1$ と $y=y_2$ で極小となり、$y=0$ で極大となる。$x=y-1$ であるから、${\alpha }_1=y_1-1$、${\alpha }_2=y_2-1$ である。

極小点 $y=y_1,y_2$ では $4y^2+3y+2a-4=0$ が成り立つ。これより $a-2=-2y^2-\frac{3}{2}y$ であるから $y^2+y+a-2=-y^2-\frac{1}{2}y$ となる。したがって極小値は $$f=y^2(-y^2-\frac{1}{2}y)=-y^3(y+\frac{1}{2})$$ で表される。

また、2次方程式の解と係数の関係より $y_1+y_2=-\frac{3}{4}$ である。$y_1=-\frac{3}{4}-y_2$ を用いて整理すると $$f(y_2)-f(y_1)=\frac{(8y_2+3{)}^3}{256}$$ である。$y_2>0$ なので右辺は正である。よって $f(y_1)<f(y_2)$ であり、すなわち $f({\alpha }_1)<f({\alpha }_2)$ である。

(3) $f^{\mathrm{\prime }}(y)=y(4y^2+3y+2a-4)$ の符号で考える。まず $a\leqq \frac{9}{4}$ のとき、(1) より $f$ は負の値をとるか、または $a=\frac{9}{4}$ で最小値 $0$ をとる。左側の極小点で全体の最小値をとり、その点より左では導関数が負である。したがって、ある $\beta$ をその最小点に対応する $x$ とすれば、$x<\beta$ で $f$ は単調減少し、$x=\beta$ で最小値をとる。

次に $$\frac{9}{4}<a<\frac{73}{32}$$ とする。このとき $y^2+y+a-2>0$ がすべての $y$ で成り立つので、$f\geqq 0$ であり、全体の最小値は $y=0$、すなわち $x=-1$ でとる。一方、$4y^2+3y+2a-4=0$ は2つの負の解をもつので、$y<0$ の範囲で $f^{\mathrm{\prime }}(y)$ は途中で正になる区間をもつ。したがって $x<-1$ 全体で単調減少とはならず、この範囲の $a$ は条件を満たさない。

最後に $$a\geqq \frac{73}{32}$$ とする。このとき $4y^2+3y+2a-4$ の判別式は $9-16(2a-4)=73-32a\leqq 0$ であり、$y$ の2次式として常に $0$ 以上である。したがって $y<0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(y)\leqq 0$、$y>0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(y)\geqq 0$ である。よって $y=0$、すなわち $x=-1$ で全体の最小値をとり、かつその左側で単調減少する。

以上より、求める $a$ の範囲は $$a\leqq \frac{9}{4}\text{または}a\geqq \frac{73}{32}$$ である。

$y=x+1$ として導関数を $f^{\mathrm{\prime }}(y)=yQ(y)$ と因数分解する。(2) は $Q$ の2根の中点を原点に移し、極小値の差を定積分で比較する。(3) は $a>9\mathrm{/}4$ のとき最小点が $y=0$ に限られることを使い、$y<0$ での単調減少条件を $Q$ の頂点の値だけで判定する。

$y=x+1$ とおくと$$f(y)=y^2(y^2+y+a-2),f^{\mathrm{\prime }}(y)=yQ(y),Q(y)=4y^2+3y+2a-4.$$(1)
$y^2\geqq 0$ なので、$f$ が負の値をもつための必要十分条件は、2次式 $y^2+y+a-2$ が負の値をもつことである。その最小値は$$a-\frac{9}{4}$$だから$$a<\frac{9}{4}$$である。ここでは微分は不要である。

(2)
$a<2$ では $Q(y)=0$ の2根を $y_1<0<y_2$ と書ける。これらが2つの極小点に対応する。根の中点と半幅を$$c=-\frac{3}{8},d=\frac{\sqrt{73-32a}}{8}$$とおけば $y_1=c-d,y_2=c+d$ である。また$$f^{\mathrm{\prime }}(y)=4y(y-y_1)(y-y_2)\mathrm{.}$$そこで $y=c+u$ と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(y_2)-f(y_1)}& {\displaystyle =4{\int }_{-d}^d(c+u)(u^2-d^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4c{\int }_{-d}^d(u^2-d^2)du=-\frac{16c{d}^3}{3}=2d^3>0.}\end{array}$$奇関数部分の積分は0である。したがって$$f({\alpha }_1)=f(y_1)<f(y_2)=f({\alpha }_2)\mathrm{.}$$(3)
まず $a<2$ では(2)より負側の極小値が正側の極小値より小さく、$y=0$ での値は0だから、最初の極小点が全体最小点である。$2\leqq a<9\mathrm{/}4$ では $Q(y)=0$ の2根はともに負であり、最初の根で負の極小値をとる一方、$y=0$ での値は0である。いずれも $f$ は $-\mathrm{\infty }$ からその最小点まで単調減少する。

$a=9\mathrm{/}4$ では$$f(y)=y^2{(y+\frac{1}{2})}^2$$であり、$y=-1\mathrm{/}2$ を選べば、その左側で単調減少し最小値0をとる。よって $a\leqq 9\mathrm{/}4$ はすべて適する。

次に $a>9\mathrm{/}4$ では $f(y)\geqq 0$ で、最小値0をとる点は $y=0$ だけである。したがって $\beta$ は $x=-1$ に対応し、必要十分条件は $y<0$ で $f^{\mathrm{\prime }}(y)\leqq 0$、すなわち $Q(y)\geqq 0$ である。$Q$ の頂点 $y=-3\mathrm{/}8$ は負であり$$Q(-\frac{3}{8})=\frac{32a-73}{16}\mathrm{.}$$ゆえに条件は $a\geqq 73\mathrm{/}32$ である。以上より$$a\leqq \frac{9}{4}\text{または}a\geqq \frac{73}{32}$$となる。