東北大 2024年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

文字列の最後の形を $A A, B A, B$ の3状態に分ける。次にAを引く確率は $2 / 3$ ，Bを引く確率は $1 / 3$ であることを使い，AAAとBBを作らない遷移だけを残す。(2)と(3)は，問題で指定された一次結合が遷移によって何倍になるかを直接代入で確認する。(4)は(3)の複素数の実部が $p_{n} - r_{n}$ であることを使い， $- (1 + i)$ の累乗の実部が0になる周期を読む。

解答

(1)
$n = 2$ のとき，右端の2文字が $A A$ で可となる確率は，2回ともAを引く確率であるから $p_{2} = {(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ である。右端の2文字が $B A$ となるには1回目にB，2回目にAを引けばよいので $q_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ である。また，右端の文字がBで可となる2文字列は $A B$ だけであり， $B B$ は不可である。よって $r_{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ である。

次に遷移を考える。可で右端が $A A$ の文字列にAを続けると $A A A$ ができて不可である。可で右端が $B A$ の文字列にAを続けると右端が $A A$ になる。したがって $p_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n}$ である。

右端が $B A$ になるには，もとの可な文字列の右端がBで，次にAを引けばよい。よって $q_{n + 1} = \frac{2}{3} r_{n}$ である。

右端がBになるには，次にBを引く必要がある。ただし，もとの右端がBなら $B B$ ができて不可であるため，もとの右端は $A A$ または $B A$ でなければならない。よって $r_{n + 1} = \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n})$ である。

(2) $U_{n} = p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}$ とおく。(1)の漸化式より $\begin{aligned} U_{n + 1} & = p_{n + 1} + 2 q_{n + 1} + 2 r_{n + 1} \\ = \frac{2}{3} q_{n} + 2 \cdot \frac{2}{3} r_{n} + 2 \cdot \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n}) \\ = \frac{2}{3} p_{n} + (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) q_{n} + \frac{4}{3} r_{n} \\ = \frac{2}{3} (p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}) \\ = \frac{2}{3} U_{n} \end{aligned}$ である。また $U_{2} = p_{2} + 2 q_{2} + 2 r_{2} = \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{3}$ である。したがって $U_{n} = \frac{4}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 2} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ である。よって $p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ である。

(3) $Z_{n} = p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n}$ とおく。(1)の漸化式を代入すると $\begin{aligned} Z_{n + 1} & = p_{n + 1} + i q_{n + 1} - (1 + i) r_{n + 1} \\ = \frac{2}{3} q_{n} + i \frac{2}{3} r_{n} - (1 + i) \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n}) \\ = - \frac{1 + i}{3} p_{n} + (\frac{2}{3} - \frac{1 + i}{3}) q_{n} + \frac{2 i}{3} r_{n} \\ = - \frac{1 + i}{3} p_{n} + \frac{1 - i}{3} q_{n} + \frac{2 i}{3} r_{n} \end{aligned}$ である。一方， $- \frac{1 + i}{3} Z_{n} = - \frac{1 + i}{3} p_{n} - \frac{i (1 + i)}{3} q_{n} + \frac{(1 + i)^{2}}{3} r_{n}$ であり， $- i (1 + i) = 1 - i, (1 + i)^{2} = 2 i$ だから，これは上の式と一致する。よって $Z_{n + 1} = - \frac{1 + i}{3} Z_{n}$ である。

初期値は $Z_{2} = \frac{4}{9} + i \frac{2}{9} - (1 + i) \frac{2}{9} = \frac{2}{9}$ であるから， $Z_{n} = \frac{2}{9} {(- \frac{1 + i}{3})}^{n - 2}$ である。すなわち $p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n} = \frac{2}{9} {(- \frac{1 + i}{3})}^{n - 2}$ である。

(4)
左辺の実部は $Re {p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n}} = p_{n} - r_{n}$ である。したがって $p_{n} = r_{n}$ は，(3)で得た複素数の実部が0であることと同値である。

定数 $\frac{2}{9} \cdot 3^{- (n - 2)}$ は正の実数なので，実部が0になるかどうかは ${- (1 + i)}^{n - 2}$ だけで決まる。ここで $- (1 + i) = - 1 - i$ であり，その累乗は $\begin{array}{ccccc} k (m o d 4) & 0 & 1 & 2 & 3 \\ {- (1 + i)}^{k} & 実数 & 実部あり & 純虚数 & 実部あり \end{array}$ となる。実際， ${- (1 + i)}^{0} = 1, {- (1 + i)}^{1} = - 1 - i, {- (1 + i)}^{2} = 2 i, {- (1 + i)}^{3} = 2 - 2 i$ であり，4乗ごとに実数倍されるだけである。

よって実部が0となるのは $n - 2 \equiv 2 (m o d 4)$ のときである。したがって $n \equiv 0 (m o d 4)$ が必要十分条件である。

【許される状態遷移】

$A A \to A A$ は $A A A$ を、 $B \to B$ は $B B$ を作るため禁止される。

総評

【公式出題意図・講評との対応】確率から数列、さらに複素数を公比とする等比数列へ段階的に切り替わる総合問題である。公式講評では(1)(2)は良好だったが、複素数が現れる(3)以降で正答率が下がり、(4)までの完答はわずかだった。本解説は3状態の遷移を図示し、指定された一次結合が固有的に定数倍される計算を省略せず示した。

難度7、計算量6、想定時間25分。初期値は $r_{2} = P (A B) = 2 / 9$ であり、 $B B$ は不可なので含めない。(4)では実部が $p_{n} - r_{n}$ であることと、指数が $n - 2$ であることを取り違えない。

【独立検算】長さ2から12まで全文字列を重み付きで列挙し、漸化式、 $p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n} = 2^{n} / 3^{n - 1}$ 、および $p_{n} = r_{n} ⟺ 4 ∣ n$ を確認した。

出典: 東北大学令和6年度一般選抜（前期日程）数学（公式出題意図・講評照合）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

総評

東北大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問