東北大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$f(x)=\frac{\log (2x-3)}{x}$$ である。商の微分より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x\cdot \frac{2}{2x-3}-\log (2x-3)}{x^2}$$ である。分母を$x^2(2x-3)$にそろえると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x-(2x-3)\log (2x-3)}{x^2(2x-3)}$$ である。したがって $$g(x)=2x-(2x-3)\log (2x-3)$$ である。

(2)
(1)で求めた $$g(x)=2x-(2x-3)\log (2x-3)$$ を微分する。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =2-\{2\log (2x-3)+(2x-3)\cdot \frac{2}{2x-3}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2\log (2x-3)-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\log (2x-3)}\end{array}$$である。$x=2$のとき$2x-3=1$なので$g^{\mathrm{\prime }}(2)=0$であり，$x>2$では$2x-3>1$より $\log (2x-3)>0$ だから $g^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって$g$は$x\geqq 2$で単調減少である。

また $g(2)=4-(1)\log 1=4>0$ である。一方，$t=2x-3$とおくと$x=(t+3)\mathrm{/}2$であり，$x\to \mathrm{\infty }$のとき$t\to \mathrm{\infty }$である。よって $$g(x)=t+3-t\log t=t(\frac{3}{t}+1-\log t)$$ となり，$\log t\to \mathrm{\infty }$より$g(x)\to -\mathrm{\infty }$である。したがって，中間値の考え方と単調性により，$g(\alpha )=0$ を満たす$2$以上の実数$\alpha$はただ1つ存在する。

(3)
$x\geqq 2$では $x^2(2x-3)>0$ であるから，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$の符号は$g(x)$の符号と一致する。(2)より，$g$は$2\leqq x<\alpha$で正，$x=\alpha$で0，$x>\alpha$で負である。したがって$f$は $$2\leqq x<\alpha \text{で増加},x>\alpha \text{で減少}$$ し，$x=\alpha$で最大値をとる。

また $$f(2)=\frac{\log 1}{2}=0$$ である。さらに$t=2x-3$とおくと $$f(x)=\frac{\log t}{(t+3)\mathrm{/}2}=\frac{2\log t}{t+3}$$ であり，問題文で与えられた極限${\lim }_{t\to \mathrm{\infty }}\frac{\log t}{t}=0$から ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=0$ である。$x>2$では$2x-3>1$なので$f(x)>0$である。したがってグラフは$(2,0)$から増加し，$x=\alpha$で最大となり，その後は$x$軸の上側から$0$に近づく形である。

(4)
与式 $(2m-3{)}^n=(2n-3{)}^m$ の両辺の自然対数をとると $n\log (2m-3)=m\log (2n-3)$ である。$m,n$は正で，$2\leqq m<n$だから，両辺を$mn$で割って $$\frac{\log (2m-3)}{m}=\frac{\log (2n-3)}{n}$$ となる。すなわち $f(m)=f(n)$ である。

まず$m\geqq 6$はありえないことを示す。$e<3$より$\log 3>1$であるから $$g(6)=12-9\log 9=12-18\log 3<12-18<0$$ である。$g(2)>0$かつ$g$は単調減少なので，$g(\alpha )=0$となる$\alpha$は $2<\alpha <6$ を満たす。したがって$m\geqq 6$なら$\alpha <m<n$であり，$f$は$[m,n]$で減少する。よって $f(m)>f(n)$ となって，$f(m)=f(n)$に反する。したがって $m=2,3,4,5$ だけを調べればよい。

$m=2$のとき，与式は $1^n=(2n-3{)}^2$ である。$n>2$なら$2n-3\geqq 3$なので不可能である。

$m=3$のとき，$3^n=(2n-3{)}^3$ である。右辺が3乗であり，左辺は素数3だけからなるので，$n$は3の倍数で，かつ$2n-3$は3のべきでなければならない。$n=3r$とおくと $3^{3r}=(2n-3{)}^3$ より $2n-3=3^r$ である。すなわち $$6r-3=3^r,2r-1=3^{r-1}$$ である。$n>m=3$より$r\geqq 2$である。$r=2$では $$2r-1=3,3^{r-1}=3$$ となり成立するので，$n=6$である。$r\geqq 3$では，$r=3$で$3^{r-1}=9>5=2r-1$である。さらに$3^{r-1}>2r-1$なら，$3^r>6r-3>2r+1=2(r+1)-1$なので，帰納的にすべての$r\geqq 3$で等号は成り立たない。したがって$m=3$からは $(m,n)=(3,6)$ を得る。

$m=4$のとき，$5^n=(2n-3{)}^4$ である。したがって$n$は4の倍数であり，$n=4r$とおくと $2n-3=5^r$ である。すなわち $8r-3=5^r$ である。$n>4$より$r\geqq 2$であるが，$r=2$で $5^r=25>13=8r-3$ である。$5^r>8r-3$なら$5^{r+1}>40r-15>8r+5=8(r+1)-3$なので，帰納的に以後も等号は成り立たない。よって$m=4$では解はない。

$m=5$のとき，$7^n=(2n-3{)}^5$ である。よって$n=5r$とおくと $$2n-3=7^r,10r-3=7^r$$ である。$n>5$より$r\geqq 2$であるが，$r=2$で $7^r=49>17=10r-3$ である。$7^r>10r-3$なら$7^{r+1}>70r-21>10r+7=10(r+1)-3$なので，帰納的に以後も等号は成り立たない。よって$m=5$でも解はない。

以上より，求める組は $(m,n)=(3,6)$ である。

【グラフの概形】

$f$ は $[2,\alpha ]$ で増加し、$[\alpha ,\mathrm{\infty })$ で減少して $0$ に近づく。

(1) 〜(3)で $f$ が最大点 $\alpha$ の左右で厳密に単調であることを使う。(4)では $3<\alpha <5$ を示し、左側の候補 $m=2,3,4$ を関数値の厳密比較だけで処理する。

(1) $$g(x)=2x-(2x-3)\log (2x-3),g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\log (2x-3)\mathrm{.}$$(2) したがって $g$ は $x\geqq 2$ で減少し、零点 $\alpha$ はただ1つである。

(3) $f$ は $[2,\alpha ]$ で増加し、$[\alpha ,\mathrm{\infty })$ で減少する。また $f(2)=0$、$x>2$ で $f(x)>0$、$f(x)\to 0$ である。

(4) $g(3)=3(2-\log 3)>0$ である。実際 $e>2$ から $e^2>4>3$、ゆえに $\log 3<2$ である。また $e<3$ と $3^{10}<7^7$ から $e^{10}<7^7$、したがって $10<7\log 7$ であり、$g(5)=10-7\log 7<0$ である。よって$$3<\alpha <5.$$$f(m)=f(n)$ かつ $m<n$ なら、厳密単調性から $m<\alpha <n$ が必要である。したがって左側の整数候補は $m=2,3,4$ に限られる。

$m=2$ では $f(2)=0$ だが $n>2$ では $f(n)>0$ なので不可能である。

$m=3$ では$$f(3)=\frac{\log 3}{3}=\frac{\log 9}{6}=f(6)\mathrm{.}$$$6>\alpha$ で、$f$ は $[\alpha ,\mathrm{\infty })$ で厳密に減少するから、右側で同じ値をとる整数は $n=6$ だけである。

$m=4$ が左側にある場合は $\alpha >4$ であり、右側の整数は $n\geqq 5$ である。一方$$f(4)>f(5)⟺5^5>7^4$$であり、$3125>2401$ だから実際に $f(4)>f(5)$ である。右側では減少するため $f(n)\leqq f(5)<f(4)$ となり不可能である。

よって求める組は $(m,n)=(3,6)$ のみである。